Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 4

Em cada um dos problemas de 1 a 4:

(a) Desenhe um campo de direções e esboce algumas trajetórias.

(b) Descreva como as soluções se comportam quando t   →   ∞ .

(c) Encontre a solução geral do sistema de equações.

x ' = - 3 5 2 - 5 2 2 x

Passo 1

a)Desenhando um campo de direções suas trajetórias:

b)Ao colocarmos t tendendo ao infinito, temos que todo os campo converge para origem.

Passo 2

c)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = - 3 5 2 - 5 2 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = - 3 - r 5 2 - 5 2 2 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + r + 1 4

Tendo as raízes:

r 1 = - 1 / 2

r 2 = - 1 / 2

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 1 2 , temos:

A - r I ξ = 0

- 3 + 1 2 5 2 - 5 2 2 + 1 2 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

- ξ 1 + ξ 2 = 0

Para r = - 1 2 :

ξ 1 = 1 1

x ( 1 ) t = 1 1 ∙ e - 1 2 t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

- 5 2 5 2 - 5 2 5 2 ∙ η 1 η 2 = 1 1

Temos que:

- 5 η 1 + 5 η 2 = 2

( η 2 - η 1 ) = 2 5

Assumindo η 1 = k , teremos:

η 2 = k + 2 5

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 1 1 t e - 1 2 t + k k + 2 / 2 e - 1 2 t = 1 1 t e - 1 2 t + 0 2 / 5 e - 1 2 t + k 1 1 e - 1 2 t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 1 1 t e - 1 2 t + c 2 1 1 t e - 1 2 t + 0 2 / 5 e - 1 2 t

Resposta

b)Ao colocarmos t tendendo ao infinito, temos que todo os campo converge para origem.

c) x = c 1 1 1 t e - 1 2 t + c 2 1 1 t e - 1 2 t + 0 2 / 5 e - 1 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja em que J = λ 1 0 λ um número real arbitrário.(a) Encontre J 2 , J 3 e J 4 .(b) Use um argumento indutivo para mostrar que J n = λ n n λ n - 1 0 λ n (c) Determine e x p ( J t ) .(d) Use e x p ⁡ (
Em cada um dos problemas de 9 a 14, encontre a solução geral do sistema de equações dado. x ' = 1 - 1 4 3 2 - 1 2 1 - 1 x
Em cada um dos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t→∞ . x ' = 1 1 2 0 2 2 - 1 1 3 x ,x 0 = 2 0 1
Em cada um dos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando t→∞ . x ' = 0 0 - 1 2 0 0 - 1 2 4 x ,x 0 = 7 5 5
Em cada um dos Problemas 7 e 8, expresse a solução geral do sistema de equações dado em termos de funções reais. x ' = - 3 0 2 1 - 1 0 - 2 - 1 0 x