O método de aproximações sucessivas (veja a Seção 2.8) também pode ser aplicado a sistemasde equações. Por exemplo, considere o problema de valor inicial x ' = A x , x 0 = x 0 Em que A e´uma matriz constante e x 0 é um vetor dado.a) Supondo que existe uma solução x=e ( t ) , mostre que ela tem que satisfazer a equaçãointegral ϕ t = x 0 + ∫ 0 t A ϕ sd s b) Comece com a aproximação inicial e 0 ( t )= x 0 . Substitua e (s) no lado direito da Eq. (ii)por essa expressão e obtenha uma nova aproximação e 1 ( t ) . Mostre que ϕ 1 t = I + A t x 0 c) Repita esse processo obtendo, assim, uma sequência de aproximações e ( 0 ) ,e ( 1 ) ,e ( 2 ) ,...,e ( n ) ,... Use um argumento indutivo para mostrar que. ϕ n t = I + A t + A 2 r 2 2 ! + … + A n t n n ! x 0 d) Faça n → ∞ e mostre que a solução do problema de valor inicial (i) é ϕ t = exp ⁡ A t x 0

a) ϕ t = x 0 + ∫ 0 t A ϕ sd s b) ϕ 1 t = I + A t x 0 c) ϕ n + 1 t = I + A t + A 2 t 2 2 + … + A n + 1 t n + 1( n + 1 ) ! x 0 d) d d t ϕ∞ t = A ϕ∞ t

Enunciado

a) Assumindo que é uma solução, portanto podemos ter

Tendo , temos , e com esta equação integrando dos dois lados temos:

Como , temos:

b) Prosseguindo com a integral anterior, perceba que temos:

E como , como dito no enunciado é uma matriz constante, logo:

E isto é :

c) Prosseguindo com oque temos:

Como:

Temos:

Agora vamos generalizar esta equação para ordens de sequencia:

Portanto isto implica que se aplicarmos ,será:

Claro que assumindo que começamos de e é valido para

d) definindo . Este limite existe, desde que:

Derivando termo por termo, temos:

Isto implica que:

E além disto temos,, com base na única solução de .