Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 18
O método de aproximações sucessivas (veja a Seção 2.8) também pode ser aplicado a sistemas
de equações. Por exemplo, considere o problema de valor inicial
Em que e´uma matriz constante e é um vetor dado.
a) Supondo que existe uma solução , mostre que ela tem que satisfazer a equação
integral
b) Comece com a aproximação inicial . Substitua e (s) no lado direito da Eq. (ii)
por essa expressão e obtenha uma nova aproximação . Mostre que
c) Repita esse processo obtendo, assim, uma sequência de aproximações Use um argumento indutivo para mostrar que.
d) Faça n → ∞ e mostre que a solução do problema de valor inicial (i) é
Passo 1
a) Assumindo que é uma solução, portanto podemos ter
Tendo , temos , e com esta equação integrando dos dois lados temos:
Como , temos:
b) Prosseguindo com a integral anterior, perceba que temos:
E como , como dito no enunciado é uma matriz constante, logo:
E isto é :
Passo 2
c) Prosseguindo com oque temos:
Como:
Temos:
Agora vamos generalizar esta equação para ordens de sequencia:
Portanto isto implica que se aplicarmos ,será:
Claro que assumindo que começamos de e é valido para
Passo 3
d) definindo . Este limite existe, desde que:
Derivando termo por termo, temos:
Isto implica que:
E além disto temos,, com base na única solução de .
Resposta
a)
b)
c)
d)