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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 7

Em cada um dos problemas de 7 a 10:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

(b) Desenhe a trajetória da solução no plano x1x2 e desenhe, também, o gráfico de x1 em função de t.

x ' = 1 - 4 4 - 7 x ,           x 0 = 3 2

Passo 1

a)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 1 - 4 4 - 7 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 1 - r - 4 4 - 7 - r

det ⁡ A - r I = r 2 + 6 r + 9

Tendo as raízes:

r 1 = - 3

r 2 = - 3

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 3 , temos:

A - r I ξ = 0

4 - 4 4 - 4 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 - ξ 2 = 0

Para r = - 3 :

ξ 1 = 1 1

x ( 1 ) t = 1 1 ∙ e - 3 t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

4 - 4 4 - 4 ∙ η 1 η 2 = 1 1

Temos que:

4 η 1 - 4 η 2 = 1

Assumindo η 2 = k , teremos:

η 1 = k + 1 4

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 1 1 t e - 3 t + k + 1 / 4 k e - 3 t = 1 1 t e - 3 t + 1 / 4 0 e - 3 t + k 1 1 e - 3 t

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 1 1 e - 3 t + c 2 1 1 t e - 3 t + 1 4 0 e - 3 t

Aplicando as condições iniciais temos:

c 1 + c 2 4 = 3

c 1 = 2

Resultando em :

c 1 = 2

c 2 = 4

E temos:

x = 3 2 e - 3 t + 4 4 t e - 3 t

Passo 2

b) desenhando os gráficos temos:

x 2   m e   f u n ç ã o   d e   x 1  

x 1   e m   f u n ç ã o   d e   ( t )

Resposta

a) x = 3 2 e - 3 t + 4 4 t e - 3 t

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