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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 10

Em cada um dos problemas de 7 a 10 , siga o procedimento ilustrado no exemplo 4 para determinar as raízes indicadas do número complexo dado.

10. 2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 / 2

Passo 1

No exemplo 4 , estávamos interessados em encontrar as raízes da equação:

r 4 + 1 = 0

Onde r é um número complexo! Vimos que as raízes dele são dadas por:

r = - 1 1 4

E aí descobrimos que podemos encontrar qualquer raiz complexa como essa daí usando a notação de Euler para os números complexos onde podemos pegar qualquer número complexo na sua forma polar e transformar em uma exponencial complexa, veja:

A cos ⁡ x + i sin ⁡ x = A e i x  

Beleza! Mas no isso foi para o exemplo 4 , agora e se tivéssemos que descobrir as raízes complexas onde...

r = 2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 / 2

Passo 2

Pela notação de Euler podemos falar que...

2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 = 2 e π 3 i  

Mas como todo múltiplo m de 2 π também gera os mesmos valores para seno e cosseno...

2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 = 2 e π 3 + 2 m π i  

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de ( 1 - i ) 1 / 2 , então...

2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 / 2 = 2 e π 3 + 2 m π i 1 2   →

2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 / 2 = 2 e π 6 + m π i   →

Transformando para cosseno e seno então...

2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 / 2 = 2 cos ⁡ π 6 + m π + i sin ⁡ π 6 + m π    

Fazendo então m = 0 , m = 1 ...

  • Para o m = 0 :

    • 2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 / 2 = 2 cos ⁡ π 6 + i sin ⁡ π 6   =

    2 3 2 + 1 2 i

  • Para m = 1 ...

2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 2 = 2 cos ⁡ π 6 + π + i sin ⁡ π 6 + π   =

2 cos ⁡ 7 π 6 + i sin ⁡ 7 π 6 =

2 - 3 2 - 1 2 i

Então essas são as raízes complexas tal que r = 2 cos ⁡ π 3 + i sin ⁡ π 3 1 2 são...

2 3 2 + 1 2 i             e       2 - 3 2 - 1 2 i

Resposta

2 3 2 + 1 2 i             e       2 - 3 2 - 1 2 i

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2. Quais os operadores que definem as equações diferenciais seguintes?a) f ' ' = 0 b) 3 f ' ' + 2 f ' + f = 0 c) f n + f n - 1 + … + f ' + f = 0 d) f ' ' = - f e) f ' ' + f = 0
1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
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