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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 17

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

17. y 6 - 3 y 4 + 3 y ' ' - y = 0

Passo 1

Ora! Aqui temos que resolver uma EDO homogênea linear a coeficientes constantes, porém ela é de ordem superior. Mas vimos que pouca coisa muda né? Basicamente é só mais trabalho mesmo haha.

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y 6 - 3 y 4 + 3 y ' ' - y = 0   →

r 6 - 3 r 4 + 3 r 2 - 1 = 0

Veja que graças a propriedade:

a - b 3 = a 3 - 3 b a 2 + 3 b 2 a - b 3

Podemos escrever essa equação dessa forma aqui:

r 2 - 1 3 = 0

Então as raízes multiplicidade 3 e elas serão:

r 2 - 1 = 0   →

r 2 = 1   →

r = ± 1

Como cada uma delas tem multiplicidade 3 (se repete três vezes), teremos...

r 1 = 1 ,         r 2 = 1 ,           r 3 = 1

r 4 = - 1 ,         r 5 = - 1 ,           r 6 = - 1

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = 1 como ele é real...

    • y 1 = e r 1 t = e t

  • Para r 2 = r 1 = 1 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...

    • y 2 = t e r 2 t = t e t

  • Para r 3 = r 2 = 1 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...

    • y 2 = t t e r 3 t = t 2 e t

  • Para r 4 = - 1 como ele é real...

    • y 4 = e r 4 t = e - t

  • Para r 5 = r 4 = - 1 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...

    • y 5 = t e r 5 t = t e - t

  • Para r 6 = r 5 = - 1 , como ele é igual ao anterior, devemos ter um t na frente...

y 6 = t t e r 6 t = t 2 e - t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4 + c 5 y 5 + c 6 y 6   →

y = c 1 e t + c 2 t e t + c 3 t 2 e t + c 4 e - t + c 5 t e - t + c 6 t 2 e - t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e t + c 2 t e t + c 3 t 2 e t + c 4 e - t + c 5 t e - t + c 6 t 2 e - t

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20. y 4 - 8 y ' = 0