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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 18

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

18. y 6 - y ' ' = 0

Passo 1

Primeira coisa, devemos montar a equação característica baseado na EDO:

y 6 - y ' ' = 0   →

r 6 - r 2 = 0   →

r 2 r 4 - 1 = 0

Primeiro observe que r 2 = 0 gera para a gente duas raízes iguais a 0 :

r 1 = 0       e         r 2 = 0

Agora se quem for 0 for o termo do parênteses:

r 4 - 1 = 0   →

r 4 = 1   →

r = 1 1 / 4

Certamente teremos 4 raízes daí que serão complexas! Vamos calculá-las?

Passo 2

Primeiro, devemos transformar 1 em um número complexo:

1 = 1 cos ⁡ 2 π + i sin ⁡ 2 π   →

Afinal cos ⁡ 2 π = 1 e sin ⁡ 2 π = 0 . Como qualquer múltiplo m de 2 π é também 1 e 0 para o cosseno e seno...

1 = 1 cos ⁡ 2 π m + i sin ⁡ 2 π m   →

Pela notação de Euler então...

1 = 1 e 2 π m  

Beleza! Como queremos achar as raízes complexas de 1 1 / 4 , então...

1 1 4 = e 2 π m i 1 4   →

1 1 4 = e 2 π m 4 i     →

Transformando para cosseno e seno então...

1 1 4 = cos ⁡ 2 π 4 m + i sin ⁡ 2 π 4 m    

Fazendo então m = 0 , m = 1 e m = 2 , m = 3 ...

  • Para o m = 0 :

    • cos ⁡ 0 + i sin ⁡ 0   =

    1

  • Para m = 1 ...

    • cos ⁡ 2 π 4 + i sin ⁡ 2 π 4    

    Calculando esses senos e cossenos...

    +     i

  • Para m = 2 ...

    • cos ⁡ 2 π 4 ⋅ 2 + i sin ⁡ 2 π 4 2    

    Calculando esses senos e cossenos...

    - 1

  • Para m = 3 ...

cos ⁡ 6 π 4 + i sin ⁡ 6 π 4    

Calculando esses senos e cossenos...

-     i

Então essas são as raízes complexas tal que r 4 - 1 = 0 são...

r 3 = 1 ; r 4 = - 1 ;   r 5 =   i             e         r 6 = -   i

Passo 3

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

  • Para r 1 = 0 como ele é real...

    • y 1 = e r 1 t = 1

  • Para r 2 = 0 como ele é real e igual ao anterior, devemos colocar um t na frente...

    • y 2 = t e 0 = t

  • Para r 3 = 1 como ele é real...

    • y 3 = e r 3 t = e t

  • Para r 4 = - 1 como ele é real...

    • y 4 = e r 4 t = e - t

  • Para r 5 = i como ele é imaginário a + b i ...

    • y 5 = e a t sin ⁡ b t = e 0 sin ⁡ 1 t

  • Para r 6 = - i como ele é imaginário a - b i ...

y 6 = e a t cos ⁡ b t = e 0 sin ⁡ 1 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4 + c 5 y 5 + c 6 y 6

y = c 1 + c 2 t + c 3 e - t + c 4 t e - t + c 5 sin ⁡ t + c 6 cos ⁡ t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 + c 2 t + c 3 e - t + c 4 t e - t + c 5 sin ⁡ t + c 6 cos ⁡ t

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1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
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