Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 1
Em cada um dos problemas de a , determine as autofunções normalizadas do problema dado
Passo 1
A solução para essa é tal que:
De tal modo que:
Aplicando as condições de contorno nós temos:
E considerando que não é zero, então:
Logo pois o cosseno só é zero para
Passo 2
Agora vamos para a autofunção, como não é nulo então a autofunção será algo do tipo:
Como temos então:
Onde é uma constante tal como só que com um nome mais bonitinho, mas que formalmente está certo pois temos termos em agora.
E pelo expressão vemos que :
E como a autofunção é normalizada então logo:
E a função pode ser escrita como:
Então:
Então a integral fica:
Como sempre será zero para qualquer inteiro então, pode-se retirar, então aplicando o intervalo nós teremos:
Então a autofunção normalizada será igual a:
Suprimimos o caso de pois nesse caso dado e pelos valores de contornos dados ele não será um autovalor válido, mas ele deve ser considerado no começo das contas.