Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado

y'' + λy = 0, y'(0) = 0, y'(1) + y(1) = 0; veja a seção 11.1, problema 8

Passo 1

Pois tem que dificultar os exercícios um pouco né hahaha não pode achar que k n = 2 o tempo todo.

Se sugerirmos λ = 0 como um autovalor as condições de contorno somente nos irão retornar a solução trivial, então sem enrolação λ = 0 não nos trará nada.

Agora para λ > 0 temos que a solução será igual a:

y = c 1 s e n λ x + c 2 c o s ⁡ ( λ x )

y ' = λ c 1 cos ⁡ λ x - λ c 2 s e n λ x

Aplicando agora as condições de contorno nós iremos ter:

y ' 0 = λ c 1 → c 1 = 0

Agora:

y ' 1 + y 1 = - λ c 2 s e n λ + c 2 cos ⁡ λ = 0

c 2 cos ⁡ λ - λ s e n λ = 0

Dessa forma teremos:

cos ⁡ λ - λ s e n λ = 0

λ = cot ⁡ λ

E como c 1 = 0 então a autofunção será igual a:

ϕ n = k n cos ⁡ λ x

Passo 2

Resolvendo k n nós teremos:

k n 2 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ λ x d x

E como já vimos nas questões anteriores nós teremos cos 2 ⁡ x = 1 2 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2

Então para um peso igual a 1:

k n 2 ∫ 0 1 1 2 + cos ⁡ 2 λ x 2 d x = 1

k n 2 x 2 + s e n 2 λ x 4 λ 0 1 = 1

Nesse caso seno não zera para qualquer valor, então:

k n 2 1 2 + s e n 2 λ 4 λ = 1

k n 2 2 λ + s e n 2 λ 4 λ = 1

E sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x   c o s x , então:

k n 2 2 λ + 2 s e n λ c o s ⁡ ( λ ) 4 λ = 1

k n 2 λ + s e n λ c o s ⁡ ( λ ) 2 λ = 1

Então:

k n = 2 λ λ + s e n λ c o s ⁡ ( λ )

Dividindo em cima e em baixo por λ nós temos:

k n = 2 1 + 1 λ s e n λ c o s ⁡ ( λ )

E no passo 1 vimos que:

cos ⁡ λ - λ s e n λ = 0

Logo:

cos ⁡ λ = λ s e n λ

Logo:

k n = 2 1 + s e n 2 λ

Então a autofunção será:

ϕ n = 2 1 + s e n 2 λ cos ⁡ λ x

Essa foi bem mais legal de fazer hahahah

Resposta

ϕ n = 2 1 + s e n 2 λ cos ⁡ λ x

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