Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 3

Em cada um dos problemas de 1 a 5 , determine as autofunções normalizadas do problema dado

y ' ' + λ y = 0 ,       y ' 0 = 0 ,       y 1 = 0

Passo 1

Err.. qual a diferença da 3 para a 2? Certeza que houve um erro de digitação aí. Pois a resposta está diferente. E analisando a solução o certo seriam as condições de contorno iguais a

,       y ' 0 = 0 ,       y ' 1 = 0

Então caso o seu livro esteja com o enunciado anterior, nós estaremos fazendo com as condições que estão descritas aqui em cima.

E nesse caso vamos dar uma olhadinha caso o λ = 0 ? Nesse caso teremos uma solução igual a:

y = c 1 x + c 2

y ' = c 1

E aplicando as duas condições de contorno nós teremos c 1 = 0 , nos dando então uma solução constante igual a:

y = c 2

Então λ = 0 é um autovalor válido nessa situação e como temos uma autofunção normalizada então a equação dessa função será de:

k n 2 ∫ 0 1 d x = 1

k n = 1

ϕ 0 = 1

Então fica a dica de sempre verificar essa condição anteriormente.

Passo 2

Agora para λ ≠ 0 teremos a seguinte solução:

y = c 1 s e n λ x + c 2 c o s ⁡ ( λ x )

y ' = λ c 1 cos ⁡ λ x - λ c 2 s e n λ x

Aplicando as condições de contorno nós teremos:

y ' 0 = λ c 1 → c 1 = 0

y ' 1 = - λ c 2 s e n λ

Como nessa última λ é diferente de zero. Então somente s e n λ será zero e a função seno só é zero em 0 ,   π , 2 π , . . ou seja, a função λ será igual a:

λ = n π

Então a autofunção terá uma cara igual a:

ϕ n = k n c o s ( n π x )

Passo 3

Descobrindo k n com uma função de peso 1 (normalizada) nós temos:

k n 2 ∫ 0 1 cos 2 ⁡ ( n π x ) d x = 1

Como cos 2 ⁡ x = 1 2 + cos ⁡ 2 x 2 , então

k n 2 ∫ 0 1 1 2 + cos ⁡ 2 n π x 2 d x = 1

Resolvendo essa integral:

k n 2 x 2 + sin ⁡ 2 π n x 4 π n 0 1 = 1

Como s e n 2 π n x = 0 para qualquer n inteiro então:

k n 2 2 = 1 → k n = 2

Deixando nossa autofunção para λ ≠ 0 igual a:

ϕ n = 2 c o s ( n π x )

Resposta

Para λ = 0

ϕ 0 = 1

Para λ ≠ 0

ϕ n = 2 c o s ⁡ ( n π x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Este problema desenvolve outros resultados associados à convergência na média. Sejam Rn(a1, . . . , an), Sn(x) e ai definidos pelas Eqs. (6), (2) e (9), respectivamente. Mostre que converge para f(x)
Neste problema, vamos mostrar que a convergência pontual de uma sequência Sn(x) não implica convergência na média e reciprocamente.Seja Sn(x) = x^n para 0 ≤ x ≤ 1 e seja f(x) = 0 para 0 ≤ x ≤ 1. Mostr
Este problema desenvolve outros resultados associados à convergência na média. Sejam Rn(a1, . . . , an), Sn(x) e ai definidos pelas Eqs. (6), (2) e (9), respectivamente. Mostre que
Mostre que, se an é o n-ésimo coeficiente de Fourier de uma função de quadrado integrável f, então .
Este problema desenvolve outros resultados associados à convergência na média. Sejam Rn(a1, . . . , an), Sn(x) e ai definidos pelas Eqs. (6), (2) e (9), respectivamente. Mostre que