Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 18

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

18.

x 2 1   –   x 2 y ″   +   2 x y '   +   4 y   =   0  

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x 2 1   –   x 2 y ″   +   2 x y '   +   4 y   =   0  

Nossa função P é

P x = x 2 1   –   x 2

Então nosso ponto singular é

x = 0

E

x =   1

Vamos testar os dois pontos e classificar cada um deles separadamente

Passo 3

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x 2 x x 2 1   –   x 2 = 2

Agora o segundo limite

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → 0 ⁡ x 2 4 x 2 1   –   x 2 = 4

Ótimo! descobrimos que x = 0 é um ponto regular

Passo 4

Agora temos o ponto x = 1 , temos que testar ele também para descobrir sua regularidade.

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

= lim x → 1 ⁡ x - 1 2 x x 2 1   –   x 2

= 2 lim x → 1 ⁡ x - 1 [ x - 1 ( - 1 ) ] ²  

= 2 lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 → ∞  

Logo como esse ponto faz nosso teste explodir para infinito, esse é um ponto IRREGULAR

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Então nossos pontos singulares são

x = 0 → Regular

E

x =   1 →   Irregular

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Usando o método de redução de ordem, mostre que, se r 1 for uma raiz repetida de r ( r - 1 ) + α r + β = 0 , então x r 1 e x r 1 serão soluções de x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 para x0 .
2 - d x d t = 5 - 1 3 1 x
5 - d x d t = 1 - 5 1 - 3 x
1 - d x d t = 3 - 2 2 - 2 x
3 - d x d t = 2 - 1 3 - 2 x