Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular

5.

x 2 y ″ - x y '   +   y   =   0  

Passo 1

Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

E quando nosso enunciado nos fala sobre “ponto singular” ele está querendo dizer os pontos de x onde

P x = 0

Quaisquer outros pontos são chamados de ordinários. Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

x 2 y ″ - x y '   +   y   =   0  

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 - x   r x r - 1 + x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) x r - r x r + x r = 0

x r ( r r - 1 - r + 1 ) = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 - r + 1 = 0

r 2 - 2 r + 1 = 0

Fazendo produtos notáveis podemos perceber que nossa solução é

r - 1 2 = 0

Passo 3

Por fim nossa solução tem o seguinte formato, visto que as raízes são iguais:

y = ( c 1 + c 2 ln ⁡ x ) x r  

Que no nosso caso fica

y = ( c 1 + c 2 ln ⁡ x ) x 1

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

y = ( c 1 + c 2 ln ⁡ x ) x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 7 a 10, determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre elas.7.
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.5. ( x - 1 ) y ( 4 ) + ( x + 1 ) y ' ' + t a n x y = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.2. t y ' ' ' + ( s e n t ) y ' ' + 3 y = c o s t
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.3. t ( t - 1 ) y ( 4 ) + e t y ' ' + 4 t 2 y = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine os intervalos nos quais existem, com certeza, soluções.4. y ' ' ' + t y ' ' + t 2 y ' + t 3 y = ln ⁡ t