Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 7
Em cada um dos problemas de 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
7.
Passo 1
a) O único ponto singular é , já que ele zera o termo de segunda ordem da E.D.O., para sabermos se esse ponto é regular, vamos escrever a equação da seguinte forma:
Dividir equação por e multiplicar por , deixa ela assim:
Onde:
Agora aplicamos o limite para em cada termo que pode causar uma descontinuidade:
Aplicando L’Hôpital no segundo limite:
Então:
E para o outro termo da equação:
Como os dois limites são finitos, isso significa que o ponto é uma singularidade regular.
Passo 2
b) Para encontrarmos a equação indicial, escrevemos ela na forma padrão:
Substituímos e que já calculamos:
As raízes serão:
Que serão os expoentes na singularidade.