Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 12
Em cada um dos problemas de 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
12.
Passo 1
a) Vamos começar olhando quais valores de zeram o termo na equação. Eles serão e . Esses pontos são chamados de pontos singulares. Para sabermos se eles são regulares ou não, precisamos reescrever a equação de uma maneira que fique visível, se esses pontos fazem a equação divergir ou não. Começamos então escrevendo a equação como:
As funções que adicionamos substituem os termos que acompanham e suas derivadas:
Dividindo toda a equação por e multiplicando por , onde é o ponto singular, a equação fica:
Agora temos uma maneira de visualizar se a singularidade faz a equação divergir ou não, se os limites sobre os termos que envolvem as razões de tenderem para infinito, significa que a singularidade é irregular, se não, é regular.
Começamos com :
Para esse ponto, os dois limites são resultam em números, então ele é uma singularidade regular
Para , temos:
Os limites também são finitos para esse ponto, então ele também é regular.
Passo 2
b) Bom, a equação indicial para pontos singulares regulares pode ser escrita na forma geral como:
Como e diferem para cada ponto, vamos começar com , substituindo os valores que calculamos através dos limites:
As raízes serão:
E para o ponto :
Usando Bhaskara, as raízes ficam: