Enunciado

Mostre diretamente que a série para J 0 ( x ) , Eq. (7), converge absolutamente para todo x .

Passo 1

Para testar a convergência, usamos o teste de proporção. Para x fixo, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x 2 n + 2 2 2 n + 2 n + 1 ! 2 - 1 n x 2 n 2 2 n n ! 2 = x 2 lim n → ∞ ⁡ 1 4 n + 1 2 = x 2 . 0 = 0

Como L   < 1 para cada opção de x , a série para J 0 converge absolutamente para todos os x .

Resposta

J 0 converge para absolutamente todo x .

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