Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 16
Em cada um dos problemas de 13 a 17:
(a) Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
(b) Encontre os expoentes no ponto singular
(c) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de
Passo 1
(a) Sendo a nossa equação:
A partir da equação dada podemos dizer que: , e
Onde o único ponto singular é
Aplicando nas condições de singularidade, teremos:
E também:
Então, ambos os limites são finitos e é um ponto singular da EDO.
Passo 2
(b) Como ambos são finitos é um ponto singular regular da equação diferencial fornecida. Como e , a equação indical correspondente é:
Onde as raízes correspondem a e .
Passo 3
(c) Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:
Os coeficientes , além de , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de
Onde:
E:
Respectivamente, conseguimos dizer que:
Fatorando , teremos:
Com o primeiro par de elementos:
Por indução matemática, a primeira solução é:
Passo 4
Já encontramos agora precisamos encontrar .
Pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:
Onde :
Tendo determinado , substituímos na equação diferencial os valores para :
Passo 5
Substituindo nas equações, nós temos que:
Substituindo teremos:
Reorganizando:
Passo 6
Igualando os coeficientes de ambos os lados em na equação encontrada no passo anterior, obtemos:
Se não há condição para , então , isso implica que:
Portanto, a segunda condição será:
Resposta
Se .
(c) ,