Enunciado

Em cada um dos problemas de 13 a 17:

(a) Mostre que x   =   0 é um ponto singular regular da equação diferencial dada.

(b) Encontre os expoentes no ponto singular x   =   0 .

(c) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de x   =   0 .

x y ″ +   2 x y ' + 6 e x   y   =   0

Passo 1

Com base no problema 1, a equação inicial quando x 0 = 0 é:

F r = r r - 1 + p 0 r + q 0 = r ( r - 1 )

Portanto, os expoentes são r 1 = 1 e r 2 = 0 .

Passo 2

(c) Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:

y 1 x = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n r 1 x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n 1 x n  

Os coeficientes a n ( 1 ) , além de a 0 = 1 , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de r   =   r 1 .

n ( n + 1 ) a n 1 + ∑ k = 0 n - 1 a k 1 ( k + 1 ) p n - k + q n - k = 0

Onde:

∑ n = 0 ∞ p n x n = x p ( x ) = 2 x

E:

∑ n = 0 ∞ q n x n = x 2 q ( x ) = 6 x e x = 6 ∑ n = 1 ∞ x n n - 1 !

Respectivamente, conseguimos dizer que:

p 0 = 2 ,   p n = 0

q 0 = 0 ,   q n = 6 n - 1 !

Fatorando a n , teremos:

a n 1 = - ∑ k = 0 n - 1 a k 1 [ ( k + 1 ) p n - k + q n - k ] n ( n + 1 )

Com o primeiro par de elementos:

a 1 1 = - a 0 ( 1 ) ( p 1 + q 1 ) 1.2 = - ( 2 + 6 ) 2 = - 4

a 2 1 = - [ a 0 ( p 2 + q 2 ) + a 1 1 2 p 1 + q 1 ] 2 2 = - [ 6 - 4 4 + 6 ] 6 = 34 6 = 17 3

a 3 1 = - [ a 0 ( p 3 + q 3 ) + a 1 1 2 p 2 + q 2 + a 2 1 3 p 1 + q 1 ] 3.4 = - [ 3 - 4.6 + 17 3 6 + 6 ] 12 = - 47 12

Por indução matemática, a primeira solução é:

y 1 x = x 1 - 4 x + 17 3 x 2 - 47 12 x 3 + …

Ou:

y 1 x = x - 4 x 2 + 17 3 x 3 - 47 12 x 4 + …

Passo 3

Já encontramos y 1 agora precisamos encontrar y 2 .

Pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:

y 2 x = a y 1 x ln ⁡ x + x r 2 ∑ n = 1 ∞ c n r 2 x n

= a y 1 x ln ⁡ x + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

Onde N = 1 :

a N r = a 1 R = - ∑ k = 0 N - 1 a k [ r + k p N - k + 1 N - k ] ( r + N - 1 ) ( r + N ) = - ( 2 r + 6 ) r ( r + 1 ) = - 2 r + 4 r ( r + 1 )

a = lim r → 0 ⁡ r   - 2 r + 4 r ( r + 1 ) = - 6   ⁡

Tendo determinado c n , substituímos na equação diferencial os valores para y 2 '   e   y 2 ' ' :

y 2 ' = a y 1 ' x ln ⁡ x + a y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n - 1  

y 2 ' ' x = a y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 a y 1 ' x x - a y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 2

Passo 4

Substituindo nas equações, nós temos que:

x y ″ +   2 x y ' + 6 e x   y   =   0

Substituindo teremos:

= x a y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 a y 1 ' x x - a y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 2 + 2 x a y 1 ' x ln ⁡ x + a y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n - 1   + 6 e x a y 1 x ln ⁡ x + 1 + ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

Reorganizando:

= a ln ⁡ x x y 1 ' ' + 2 x y 1 ' + 6 e x y 1 + 2 a y 1 ' - a y 1 x + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 1 + 2 a y 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n + 6 e x + 6 e x ∑ n = 1 ∞ c n 0 x n

Reorganizando teremos:

= a + a ∑ n = 1 ∞ ( 1 + 2 n ) a n 1 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 c n 0 x n - 1 + 2 a x + 2 a ∑ n = 1 ∞ a n 1 x n - 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n + 6 ∑ n = 0 ∞ x n n ! + ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ x k k ! c n + 1 - k 0 x n + 1 - k

Modificando alguns termos e limites:

= a + a ∑ n = 1 ∞ ( 1 + 2 n ) a n 1 x n + ∑ n = 1 ∞ n n + 1 c n + 1 0 x n + 2 a x + 2 a ∑ n = 2 ∞ a n - 1 1 x n + 2 ∑ n = 1 ∞ n c n 0 x n + 6 ∑ n = 0 ∞ x n n ! + 6 ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n - 1 c n - k 0 x n k !  

Avaliamos alguns termos na ultima equação encontrada, queremos que todos os somatórios iniciem no menor índice comum n   =   2 . Para em seguida, agruparmos os termos e substituímos a   =   - 6 .

= a + 3 a a 1 1 x + a ∑ n = 2 ∞ ( 1 + 2 n ) a n 1 x n + 2 c 2 0 x + ∑ n = 2 ∞ n ( n + 1 ) c n + 1 0 x n + 2 a x + 2 a ∑ n = 2 ∞ a n - 1 x n + 2 c 1 0 x + 2 ∑ n = 2 ∞ n c n 0 x n + 6 + 6 x + 6 ∑ n = 2 ∞ x n n ! + 6 c 1 0 x + 6 + 6 ∑ n = 2 ∞ ∑ k = 0 n - 1 c n - k 0 x n k !  

Reorganizando mais uma vez:

= - 18 a 1 1 + 2 c 2 0 - 6 + 8 c 1 0 x + ∑ n = 2 ∞ - 6 1 + 2 n a n 1 + n n + 1 c n + 1 0 - 12 a n - 1 + 2 n c n 0 + 6 n ! + 6 ∑ k = 0 n - 1 c n - k 0 k !     x n = 0

Passo 5

Igualando os coeficientes de ambos os lados em na equação encontrada no passo anterior, obtemos:

- 18 a 1 1 + 2 c 2 0 - 6 + 8 c 1 0 = 0

- 6 1 2 n a n 1 + n n + 1 c n + 1 0 - 12 a n - 1 + 2 n c n 0 + 6 n ! + 6 ∑ k = 0 n - 1 c n - k 0 k !  

Que pode ser escrito como:

c 2 0 = 18 a 1 1 - 8 c 1 0 + 6 2

c n + 1 0 = 6 1 + 2 n a n 1 + 12 a n - 1 - 2 n c n 0 - 6 n ! 6 ∑ k = 0 n - 1 c n - k 0 k ! n ( n + 1 )

Que pode ser escrito também como:

c 2 0 = - 33 - 4 c 1 ( 0 )

c 3 0 = 30 . 17 3 - 48 - 4 - 33 - 3 - 6 c 2 0 + c 1 0 6 = 449 6 + c 1 ( 0 )

Como não há condições em c 1 ( 0 ) , podemos escolher c 1 ( 0 ) = 0 , o que implica:

c 2 ( 0 ) = -   33   e c 3 ( 0 ) = 449 6 .

Portanto, a segunda condição é:

y 2 x = - 6 y 1 x ln ⁡ x + 1 - 33 x 2 + 449 6 x 3 + …

Resposta

r 1 = 1 ; r 2 = 0

y 1 x = x - 4 x 2 + 17 3 x 3 - 47 12 x 4 + …

y 2 x = - 6 y 1 x ln ⁡ x + 1 - 33 x 2 + 449 6 x 3 + …

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