Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 14
Em cada um dos problemas de 13 a 17:
(a) Mostre que é um ponto singular regular da equação diferencial dada.
(b) Encontre os expoentes no ponto singular
(c) Encontre os três primeiros termos não nulos em cada uma das duas soluções (que não são múltiplas uma da outra) em torno de
Passo 1
Com base no problema 1, a equação inicial quando é:
Portanto, os expoentes são e .
Passo 2
(c) Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:
Os coeficientes , além de , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de
Onde:
E:
Respectivamente, conseguimos dizer que:
Fatorando , teremos:
Com o primeiro par de elementos:
Por indução matemática, a primeira solução é:
Ou:
Passo 3
Já encontramos agora precisamos encontrar .
Pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:
Onde :
Tendo determinado , substituímos na equação diferencial os valores para :
Passo 4
Substituindo nas equações, nós temos que:
Substituindo teremos:
Reorganizando:
Reorganizando teremos:
Modificando alguns termos e limites:
Avaliamos alguns termos na ultima equação encontrada, queremos que todos os somatórios iniciem no menor índice comum . Para em seguida, agruparmos os termos e substituímos
Reorganizando mais uma vez:
Passo 5
Igualando os coeficientes de ambos os lados em na equação encontrada no passo anterior, obtemos:
Que pode ser escrito como:
Que pode ser escrito também como:
Como não há condições em podemos escolher , o que implica:
e .
Portanto, a segunda condição é: