6 - d x d t = 2 - 5 1 - 2 x

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 2 - 5 1 - 2 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 2 - 5 1 - 2 ξ e r t

r ξ e r t = 2 - 5 1 - 2 ξ e r t

= 2 - r - 5 1 - 2 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

2 - r - 5 1 - 2 - r = 0

- 2 - r 2 + r + 5 = 0

- 4 - r 2 + 5 = 0

- 4 + r 2 + 5 = 0

r 2 + 1 = 0

Portanto, os autovalores são r 1 = i e r 2 = - i .

Passo 3

Quando r = r 1 = i , a equação ( 2 ) fornece,

= 2 - i - 5 1 - 2 - i ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

( 2 - i ) ξ 1 = 5 ξ 2

ξ 1 = ( 2 + i ) ξ 2

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = + i é: ξ 1 = 2 + i 1

Passo 4

Encontre o autovetor correspondente ao autovalor r = r 2 = - i .

Substitua  r = - 1 - i   na equação ( 2 ) ,

= 1 + i ) - 5 1 - 2 + i ) ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 1 + i - 5 1 - 2 + i ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

ξ 1 = ξ 2

O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = - i é: ξ 2 = 2 - i 1

Portanto, a solução geral é,

x = c 1 2 + i 1 e i t + c 2 2 - i 1 e - i t

Onde  c 1 c 2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

b) O objetivo é classificar o ponto crítico  ( 0,0 ) quanto ao tipo e determinar se ele é estável, assintoticamente estável ou instável.

Os autovalores  r 1 , r 2 = ± i são números complexos.

Portanto, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um ponto espiral.

Como a parte real é zero e os autovalores são puramente imaginários, o ponto crítico é o centro. Nesse caso, como a parte real dos autovalores é zero. As trajetórias não se aproximam  ( 0,0 ) ou são ilimitadas, mas atravessam repetidamente uma curva fechada sobre a origem e são estáveis.

Portanto, o ponto crítico é um centro estável.

Passo 6

c) Várias trajetórias no plano de fase são mostradas abaixo.

E algumas trajetórias terão alguns valores de constantes  c 1 , c 2 .

Agora, o esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Passo 7

d) O objetivo é usar um computador para plotar com precisão as curvas solicitadas na parte (c).

Digite pplane8 na janela de comando do MATLAB; insira as equações e pressione o botão ENTER para obter os seguintes gráficos:

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = + i e r 2 = - i .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = + i é: ξ 1 = 2 + i 1

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = - i é: ξ 2 = 2 - i 1

  3. O ponto crítico é um centro estável.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados