Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 8

8 - (d x)/(d t) = ([[-,1,-,1],[0,-,0,25]]) x

Passo 1

O valor próprio é a raiz da equação característica do  |A - lambda I| = 0 . Aqui,  A  é qualquer matriz n xx n e  lambda I  denota a matriz de identidade. Se o valor for positivo, o ponto crítico será instável; se o valor for negativo, o ponto crítico será assintoticamente estável. E se o valor é puramente imaginário, o ponto crítico é estável.

Passo 2

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[-,1,-,1],[0,-,0,25]]) x ... ... . ( 1 )

a)

Vamos assumir x = xi e^(r t) como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

(d)/(d t) (xi e^(r t)) = ([[-,1,-,1],[0,-,0,25]]) (xi e^(r t))

r xi e^(r t) = ([[-,1,-,1],[0,-,0,25]]) (xi e^(r t))

= ([[-,1,-,r,-,1],[0,-,1,//,4,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]]) ... ... ( 2 )

Passo 3

Os valores são as raízes da equação.

|[[-,1,-,r,-,1],[0,-,1,//,4,-,r]]| = 0

(r + 1) (r + (1)/(4)) = 0

r = - 1 , r_2 = - (1)/(4)

Portanto, os autovalores são r_1 = - 1 e r_2 = - (1)/(4) .

Passo 4

Quando r = r_1 = - 1 , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[-,1,+,1,-,1],[0,-,(1)/(4),+,1]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[0,-,1],[0,3,//,4]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

xi_2 = 0

O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 é: xi^1 = ([[1],[0]]) .

Passo 5

Quando r = r_1 = - (1)/(4) , a equação ( 2 ) fornece,

= ([[-,1,+,(1)/(4),-,1],[0,-,(1)/(4),+,(1)/(4)]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

= ([[-,3,//,4,-,1],[0,0]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Cada linha gera a condição:

3 xi_1 = - 4 xi_2

O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_1 = - (1)/(4) é: xi^2 = ([[4],[-,3]]) .

Passo 6

b) Como os valores encontrados são reais, desiguais e têm o mesmo sinal, o ponto crítico  ( 0,0 ) é um nó. Agora, os dois autovalores são de sinal negativo; o ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

Passo 7

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Resposta

  1. Os autovalores são r_1 = - 1 e r_2 = - 1 // 4 .

    2. O autovetor xi^1 correspondente ao autovalor r_1 = - 1 é: xi^1 = ([[1],[0]])

    O autovetor xi^2 correspondente ao autovalor r_2 = - (1)/(4) é: xi^2 = ([[4],[-,3]])

  2. O ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

11 - y^' = ( 4 - t y ) // ( 1 + y^2 ) , y (0) = - 2 .
16 - Deduza a fórmula inversa de diferenciação de segunda ordem dada pela Eq. (15)
9 - y^' = sqrt(t + y) , y (0) = 3 .
12 - y^' = ( y^2 + 2 t y ) // ( 3 + t^2 ) , y (0) = 0,5 .
10 - y^' = 2 t + e^(- t y) , y (0) = 1 .