9 - d x d t = 3 - 4 1 - 1 x

Passo 1

Considere o sistema:

d x d t = 3 - 4 1 - 1 x … … .   ( 1 )

a)

Vamos assumir x = ξ e r t como a solução do sistema. Portanto iremos substituir esse valor no sistema.

d d t ξ e r t = 3 - 4 1 - 1 ξ e r t

r ξ e r t = 3 - 4 1 - 1 ξ e r t

= 3 - r - 4 1 - 1 - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 2 )

Passo 2

Os valores são as raízes da equação.

3 - r - 4 1 - 1 - r = 0

3 - r - 1 - r + 4 = 0

- 3 - 3 r + r + r 2 + 4 = 0

r 2 - 2 r + 1 = 0

r - 1 2 = 0

r 1 = r 2 = 1

Portanto, os autovalores são r 1 = 1 e r 2 = 1 .

Passo 3

Quando r = r 1 = 1 , a equação ( 2 ) fornece,

= 3 - 1 - 4 1 - 1 - 1 ξ 1 ξ 2 = 0 0

= 2 - 4 1 - 2 ξ 1 ξ 2 = 0 0

Simplificando a primeira linha, temos:

= 1 - 2 1 - 2 ξ 1 ξ 2 = 0 0

= ξ 1 - 2 ξ 2 ξ 1 - 2 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera a condição:

ξ 1 = 2 ξ 2

O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 1 é: ξ 1 = 2 1 .

Passo 4

Agora, encontre o segundo vetor autônomo linearmente independente correspondente a  r 2 = 1 . O vetor generalizado satisfaz a seguinte relação A - r I n = ξ .

3 - 1 - 4 1 - 1 - 1 n 1 n 2 = 2 1

= 2 - 4 1 - 2 n 1 n 2 = 2 1

Simplificando a primeira linha, temos:

= 1 - 2 1 - 2 n 1 n 2 = 1 1

= n 1 - 2 n 2 n 1 - 2 n 2 = 1 1

Cada linha gera a condição:

n 1 - 2 n 2 = 1

Vamos definir n 2 = k  (constante arbitrária) para obter n 1 = 1 + 2 k .

Então o vetor resultante é:

n = 1 + 2 k k = 1 0 + k 2 1

O segundo termo é um múltiplo de  ξ , portanto, pode ser descartado.

Então  n = 1 0 .

E, portanto, a solução geral é:

x = c 1 2 1 e t + c 2 2 1 t e t + 1 0 e t

Onde  c 1 , c 2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

b) Agora os autovalores são iguais a um autovetor independente, então o valor crítico

( 0,0 ) é um nó inadequado. Como os dois valores próprios são positivos.

Portanto, o ponto crítico é um nó impróprio instável.

Passo 6

c) O plano de fase do diferencial fornecido pode ser desenhado abaixo:

Agora, o esboço do gráfico  x 0 = 1 de  x 1 por  t é mostrado abaixo:

Da mesma forma, podemos esboçar o gráfico  x - 1 = - 2 de  x 1 por t é mostrado abaixo.

Passo 7

d) O esboço das trajetórias é mostrado abaixo:

Resposta

  1. Os autovalores são r 1 = 1 e r 2 = 1 .
  2. O autovetor ξ 1 correspondente ao autovalor r 1 = 1 é: ξ 1 = 2 1

    O autovetor ξ 2 correspondente ao autovalor r 2 = - 1 4   é: n = 1 0

  3. O ponto crítico é um nó impróprio instável.
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