Pode-se mostrar que J_0 tem uma infinidade de zeros para x > 0 . Em particular, os três primeiros zeros são aproximadamente iguais a 2,405; 5,520 e 8,653 (veja a Figura 5.7.1). Denote por lambda_j , j = 1, 2, 3, ... os zeros de J_0 ; segue que:

J 0 λ j , x = 1 ,       x = 0 ; 0 ,         x = 1 .

Verifique se y = J_0(lambda_j \* x) satisfaz a equação diferencial.

y'' + (1/x)y' + λ_j^2 y = 0, x > 0

Mostre que, portanto,

∫ 0 1 x J 0 λ j x J 0 λ j x d x = 0 ;     s e   λ i ≠ λ j .

Essa propriedade importante de J_0(lambda_i x), conhecida como propriedade de ortogonalidade, é útil na resolução de problemas de valores de contorno.

Sugestão: Escreva a equação diferencial para J_0(lambda_i x) . Multiplique-a por x J_0(lambda_j x) e a subtraia de xJ_0(lambda_i x) vezes a equação diferencial para J_0(lambda_j \* x) . Depois integre de 0 a 1.

Passo 1

Temos a função:

y = J 0 ( λ j x )

Derivando:

y ' = λ j J 0 ' ( λ j x )

y ' ' = λ j 2 J 0 ' ' ( λ j x )

Para verificar se (1) satisfaz a equação diferencial fornecida, substituímos (1) e (2) na equação e reorganizamos a equação de Bessel da ordem zero avaliada em λ j x :

λ j 2 J 0 ' ' λ j x + 1 x λ j x J 0 ' λ j x + λ j 2 J 0 ( λ j x )

= 1 x 2 λ j x 2 J 0 ' ' ( λ j x ) + λ j x J 0 ' λ j x + λ j x 2 J 0 λ j x = 0

Seguindo as etapas fornecidas no texto do problema e definindo y , temos:

0 = x y i y j ' ' + 1 x y j ' + λ j 2 y j - y i ' ' + 1 x y i ' + λ i 2 y i x y j

= x y i y j ' ' - y i ' ' y j + y i y j ' - y i ' y j + λ j 2 - λ i 2 x y i y j

= x d d x y i y j '   i y i ' y j + y i y j ' - y i ' y j + λ j 2 - λ i 2 x y i y j  

= d d x x ( y i y j ' - y i ' y j ) + λ j 2 - λ i 2 x y i y j

O que, desde   λ i ≠ λ j .

Passo 2

Agora que obtemos a derivada, podemos isolar alguns termos para realizar a integração:

x y i y j = - d d x x ( y i y j ' - y i ' y j ) λ j 2 - λ i 2

A integração (3) de 0 a 1 implica:

∫ 0 1 x J 0 λ i x J o λ j x = - x J 0 λ i x J 0 ' λ j x - J 0 ' λ i x J 0 ( λ j x ) λ j 2 - λ i 2 0 1

= - 1 J 0 λ i 1 J 0 ' λ j 1 - J 0 ' λ i 1 J 0 λ j 1 λ j 2 - λ i 2 + 0

= 0 - 0 λ j 2 - λ i 2 = 0

Resposta

∫ 0 1 x J 0 λ i x J o λ j x = 0

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