Em cada um dos problemas de 13 a 18:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = 0 ,                             - 2 ≤ x ≤ - 1 , x ,                                     - 1 < x < 1 ; 0 ,                                               1 ≤ x < 2 ;                             f x + 4 = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

Esta função é periódica com o período 4.

Portanto, neste caso, L = 2   e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Passo 3

Observe que f ( x ) é uma função ímpar ( f ( - x )   = -   f   ( x ) ) . Conforme descrito em (8) na página 616, temos:

a n = 0 ;           n = 0,1 , 2 …

Então:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 …

b m = 2 2 ∫ 0 1 x sen ⁡ m π x 2 d x

b m = 4 m 2 π 2 - π m 2 x cos ⁡ π m x 2 + sen ⁡ π m x 2 0 1

b m = 4 m 2 π 2 - π m 2 cos ⁡ π m 2 + sen ⁡ π m 2 - 0

b m = - 2 π m cos ⁡ π m 2 + 2 π m 2 sin ⁡ π m 2

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x =   ∑ n = 1 ∞ - 2 π n cos ⁡ π n 2 + 2 π n 2 sin ⁡ π n 2 sin ⁡ π m x 2

Resposta

f x =   ∑ n = 1 ∞ - 2 π n cos ⁡ π n 2 + 2 π n 2 sin ⁡ π n 2 sin ⁡ π m x 2

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