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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 30

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.

4 ⋅ x 3 y 2 + 3 y + 3 ⋅ x y 2 + 4 ⋅ y ⋅ y ' = 0

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos usar o método do fator integrante supondo que o mesmo é dependente apenas de uma variável pela relação encontrada no capitulo, onde

μ ' = N x - M y M ⋅ μ

Após isso iremos resolver a nossa nova equação pelo método das diferenciais exatas para encontrarmos nossa solução. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular nosso M y e N x . Temos que M y = - 8 ⋅ x 3 y 3 - 3 y 2 e nosso N x = 3 y 2 . Usando a relação do passo 1, temos que

μ ' = 3 y 2 + 8 ⋅ x 3 y 3 + 3 y 2 4 ⋅ x 3 y 2 + 3 y ⋅ μ = 2 / y ⋅ 4 ⋅ x 3 y 2 + 3 y 4 ⋅ x 3 y 2 + 3 y ⋅ μ = 2 y ⋅ μ

Sendo então

d μ d y = 2 y ⋅ μ → μ = y 2

Multiplicando nosso fator integrante agora na equação, ficamos com

y 2 ⋅ 4 ⋅ x 3 y 2 + 3 y + y 2 ⋅ 3 ⋅ x y 2 + 4 ⋅ y ⋅ y ' = 0

4 ⋅ x 3 + 3 ⋅ y + 3 ⋅ x + 4 ⋅ y 3 ⋅ y ' = 0

Se calcularmos agora M y e N x , teremos que M y = 3 = N x , como queríamos. Integrando nosso novo M em relação a x , temos que nossa ψ ( x , y ) será

ψ x , y = x 4 + 3 ⋅ x ⋅ y + g y

Derivando essa equação em relação a y e igualando a N , temos que

ψ y x , y = 3 ⋅ x + g ' y = N = 3 ⋅ x + 4 ⋅ y 3

Sendo, então

g ' y = 4 ⋅ y 3

g y = y 4

Substituindo em ψ x , y , temos que

ψ x , y = x 4 + y 4 + 3 ⋅ x ⋅ y = C

Como solução implícita.

Resposta

x 4 + y 4 + 3 ⋅ x ⋅ y = C

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