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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 20

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

x 2 y ″ + x y ' + x 2 – 0,25 y = g x ,     x > 0 ;   y 1 x = x – 1 2 sen ⁡ x ,     y 2 x = x – 1 2 cos ⁡ x

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. x 2 y ″ + x y ' + x 2 – 0,25 y = g x  

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Passo 2

Dividindo tudo por x 2 :

x 2 y ″ + x y ' + x 2 – 0,25 y = g x          

y ″ + 1 x y ' + x - 0,25 x 2 y   = g x x 2 = x - 2 g ( x )      

Então:

g x = x - 2 g ( x )

Se:

y 1 x = x - 1 / 2 sen ⁡ x     e     y 2 x = x - 1 / 2 cos ⁡ x

As derivadas serão:

y 1 ' t = 1 2 x - 3 2 ( - sen ⁡ x + 2 x cos ⁡ x )

y 2 ' t = 1 2 x - 3 2 ( - cos ⁡ x - 2 x sen ⁡ x )

Então, o Wronskiano pode ser dado por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = x - 1 / 2 sen ⁡ x x - 1 / 2 cos ⁡ x 1 2 x - 3 2 ( - sen ⁡ x + 2 x cos ⁡ x ) 1 2 x - 3 2 ( - cos ⁡ x - 2 x sen ⁡ x )

W = x - 1 / 2 sen ⁡ x 1 2 x - 3 2 ( - cos ⁡ x - 2 x sen ⁡ x ) - x - 1 / 2 cos ⁡ x 1 2 x - 3 2 ( - sen ⁡ x + 2 x cos ⁡ x )

W = - x - 1 sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = - x - 1

Passo 3

Podemos resolver aplicando na fórmula:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Então:

Y t = - y 1 x ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t + y 2 x ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Y t = - x - 1 2 sen ⁡ x ∫ t - 1 2 cos ⁡ t . t - 2 g t - t - 1 d t + x - 1 2 cos ⁡ x ∫ t - 1 2 s en ⁡ t . t - 2 g ( t ) - t - 1 d t

Y t = - x - 1 2 sen ⁡ x ∫ t - 3 2 cos ⁡ t . g ( t ) d t + x - 1 2 cos ⁡ x ∫ t - 3 2 sin ⁡ t . g ( t ) d t

Y t = x - 1 2 ∫ t - 3 2 sin ⁡ x . cos ⁡ t . g ( t ) d t - x - 1 2 ∫ t - 3 2 cos ⁡ x sin ⁡ t . g ( t ) d t

Y t = x - 1 2 ∫ ( t - 3 2 ( sin ⁡ x cos ⁡ t - cos ⁡ x sin ⁡ t ) ) g t d t

Y t = x - 1 2 ∫ t - 3 2 sen ⁡ x - t g t d t

Resposta

Y t = x - 1 2 ∫ t - 3 2 sen ⁡ x - t g t d t

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