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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 14

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

t 2 y ″ –   t t   +   2 y ' +   t   +   2 y   =   2 t 3   ,   t   >   0 ;   y 1 t =   t ,   y 2 t = t e t

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. t 2 y ″ –   t t   +   2 y ' +   t   +   2 y   =   2 t 3        

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Passo 2

Dividindo tudo por t 2 :

t 2 y ″ –   t t   +   2 y ' +   t   +   2 y   =   2 t 3        

y ″ – t   +   2 t y ' + t   +   2 t 2 y   =   2 t        

Se:

y 1 t =   t       e       y 2 t = t e t

As derivadas serão:

y 1 ' t = 1

y 2 t = e t + t e t

Então, o Wronskiano pode ser dado por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = t t e t 1 e t + t e t = t e t + t 2 e t - t e t = t 2 e t

Passo 3

Aplicando as fórmulas do passo 1, podemos calcular também u 1 e u 2 :

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t = - ∫ t e t . 2 t t 2 e t d t = - ∫ 2 d t = - 2 t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t = ∫ t . 2 t t 2 e t d t = ∫ 2 e - t = - 2 e - t

Passo 4

Sabemos que:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Substituindo:

Y t = t . ( - 2 t ) - 2 t e t . e - t

Y t = - 2 t 2 - 2 t

Sabendo que 2 t   deve fazer parte da solução homogênea, a solução particular pode ser dada por:

Y t = - 2 t 2

Resposta

Y t = - 2 t 2

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