Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 16

Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problemas 19 e 20, g é uma função contínua arbitrária.

1 - t y ' ' + t y ' - y = 2 t - 1 2 e - t ;           0 < t < 1 ,       y 1 t = e t ;     y 2 t = t

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. 1 - t y ' ' + t y ' - y = 2 t - 1 2 e - t      

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t

Passo 2

Dividindo tudo por ( 1 - t ) :

1 - t y ' ' + t y ' - y = 2 t - 1 2 e - t        

y ″ – t 1 - t y ' + 1 1 - t y   =   2 1 - t e - t        

Então:

g t = 2 1 - t e - t

Se:

y 1 t = e t     e       y 2 t = t

As derivadas serão:

y 1 ' t = e t

y 2 t = 1

Então, o Wronskiano pode ser dado por:

W y 1 , y 2 = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = e t t e t 1 = 1 - t e t

Passo 3

Aplicando as fórmulas do passo 1, podemos calcular também u 1 e u 2 :

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t = - ∫ t . 2 1 - t e - t 1 - t e t d t = - ∫ 2 t e - 2 t d t = t e - 2 t + 1 2 e - 2 t

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t = ∫ e t . 2 1 - t e - t 1 - t e t d t = - 2 e - t

Passo 4

Sabemos que:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Substituindo:

Y t = e t t e - 2 t + 1 2 e - 2 t + 2 t e - t

Y t = t e - t + 1 2 e - t - 2 t e - t

Y t = - t e - t + 1 2 e - t

Juntando os termos:

Y t = - 1 2 2 t - 1 e - t

Resposta

Y t = - 1 2 2 t - 1 e - t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 4, use o método de variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular da equação diferencial dada. Depois verifique sua resposta usando o método dos coeficie
Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial L y = D ' –a D ' –b y=g t , y t 0 = 0 ,y t 0 = 0 , em que a e b são números reais com a≠b .
Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problem
Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial L y = D 2–2 λ D+ λ 2 + μ 2 y = g t ,y t 0 = 0 ,y ( t 0 )=0 . Note que as raízes da equação característica são λ±i μ
Em cada um dos problemas de 13 a 20, verifique se as funções dadas y 1 e y 2 satisfazem a equação homogênea associada; depois encontre uma solução particular da equação não homogênea dada. Nos Problem