Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 11
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
Passo 1
A equação dada é a equação de Euler. Então, teremos algo no estilo:
Então, nós temos:
Colocando na equação dada ficamos com:
Substituindo:
Consequentemente, nós temos:
Usando as soluções das raízes , podemos substituir em:
Então, com esses valores de conseguimos encontrar a solução geral:
Passo 2
Agora, podemos aplicar nas condições dadas, quando e.
Usando a primeira condição de contorno , teremos:
E também com a segunda condição de contorno , nós temos:
Ao resolver essas equações e , nós teremos:
A solução geral é:
Substituindo:
Resposta
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Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = 0 y ( 0 ) = 0 ; y L = 0
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais. y ' ' - λ y = 0 ; y 0 = 0 ; y ' L = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = 0 y ' ( 0 ) = 1 ; y L = 0
Em cada um dos problemas de 14 a 20, encontre os autovalores e autofunções do problema de valores de contorno dado. Suponha que todos os autovalores são reais. y ' ' + λ y = 0 ; y ' 0 = 0 ; y ' L = 0
Em cada um dos problemas de 1 a 13, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução. y ' ' + y = x y 0 = 0;y π = 0