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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 6

Considere os vetores x 1 = t 1 e x 2 = t 2 2 t .

(a) Calcule o wronskiano de x 1 e x 2 .

(b) Em que intervalos x 1 e x 2 são linearmente independentes?

(c ) Que conclusão pode-se titrar sobre os coeficientes no sistema homogêneo de equações diferenciais satisfeito por x 1 e x 2 ?

(d) Encontre esse sistema de equações e verifique as conclusões do item (c).

Passo 1

(a) O wronskiano de W x 1 , x 2 = t t 2 1 2 t .

O wronskiano é det ⁡ W :

det ⁡ W = 2 t 2 - t 2 = t 2

Passo 2

(b) Para conhecer se os valores são linearmente independentes, devemos calcular o determinante do wronskiano escalonado .  

W x 1 , x 2 ' = 1 2 t 1 - t 2 = - t 2

Sabemos que x 1 e x 2 são linearmente independentes por que o wronskiano não é nulo, exceto quando t = 0 . (c) Em t = 0   há, então, pelo menos 1 coeficiente inexistente.

Passo 3

(c) Sabemos que: x 1 = t 1

x 2 = t 2 2 t

A derivada desses pontos é:

x 1 ' = 1 0 a b c d

x 2 ' = 2 t 2 a b c d

O que resulta em:

a t + b = 1

b = 1 - a t

Podemos substituir em:

a t 2 + 2 b t = 2 t

Então:

a = 0

b = 1

Do mesmo modo que:

0 = c t + d

c t = - d

Substituindo:

c t 2 + 2 t d = 2

c = - 2 t 2

d = 2 t

Então, se considerarmos:

x ' = x 1 ' x 2 ' x

Substituindo os valores, teremos:

x ' = 0 1 - 2 t 2 2 t x

Resposta

(a) det ⁡ W = t 2

(b) Linearmente independentes, exceto em t = 0

(c ) t = 0 .

(d) x ' = 0 1 - 2 t 2 2 t

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