Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.1 - Ex. 21
O fluxo laminar de um fluido incompressível viscoso em um tubo longo com seção reta circular, simétrico em relação ao eixo e com gradiente de pressão axial constante, é conhecido como fluxo de Poiseuille. A velocidade axial é uma função só da variável radial r e satisfaz o problema de valores de contorno
em que R é o raio do tubo, G é o gradiente de pressão e μ é o coeficiente de viscosidade do fluido.
(a) Encontre o perfil de velocidade
(b) Integrando em uma seção circular, mostre que a taxa total de fluxo Q é dada por
Como podem ser medidos, esse resultado fornece um modo prático de determinar a viscosidade
(c) Suponha que R está reduzido a ¾ de seu valor original. Qual é a redução correspondente em Q? Esse resultado tem implicações para o fluxo de sangue pelas artérias contendo uma placa.
Passo 1
(a) Se , aplicando na EDO homogênea, teremos que:
Com duas raízes nulas.
Dessa forma:
Agora, podemos encontrar a solução particular:
Se:
Então:
Se , então
A solução geral pode ser dada por:
Então:
Passo 2
(b) Agora, podemos integrar o valor em uma seção circular para encontrar :
Passo 3
(c) Supondo que está reduzido a ¾ de seu valor original, para isso, podemos considerar que: