O fluxo laminar de um fluido incompressível viscoso em um tubo longo com seção reta circular, simétrico em relação ao eixo e com gradiente de pressão axial constante, é conhecido como fluxo de Poiseuille. A velocidade axial é uma função só da variável radial r e satisfaz o problema de valores de contorno

w'' + 1 / r * w' = - G / μ, w(R) = 0, w(r), limitada para 0 < r < R.

em que R é o raio do tubo, G é o gradiente de pressão e μ é o coeficiente de viscosidade do fluido.

(a) Encontre o perfil de velocidade w(r)

(b) Integrando w(r) em uma seção circular, mostre que a taxa total de fluxo Q é dada por

Q = (pi * R^4 * G) / (8 * mu)

Como Q, R e G podem ser medidos, esse resultado fornece um modo prático de determinar a viscosidade mu.

(c) Suponha que R está reduzido a ¾ de seu valor original. Qual é a redução correspondente em Q? Esse resultado tem implicações para o fluxo de sangue pelas artérias contendo uma placa.

Passo 1

(a) Se w h = r m , aplicando na EDO homogênea, teremos que:

m 2 = 0

Com duas raízes nulas.

Dessa forma:

w h = c 0

Agora, podemos encontrar a solução particular:

w p = k 1 r 2

Se:

2 k 1 + 2 k 1 = - G μ

k 1 = - G 4 μ

Então:

w = c 0 - G r 2 4 μ

Se w ( R ) = 0 , então c 0 = G R 2 4 μ

A solução w geral pode ser dada por:

w = w h + w p

Então:

w = G R 2 - r 2 4 μ

Passo 2

(b) Agora, podemos integrar o valor w em uma seção circular para encontrar Q :

Q = ∫ w d A = ∫ 0 R 2 π r G R 2 - r 2 4 μ d r

Q = G π 2 μ r 4 4 - r 2 R 2 2 0 R

Q   = π R 4 G 8 μ

Passo 3

(c) Supondo que R está reduzido a ¾ de seu valor original, para isso, podemos considerar que:

3 4 4 = 0,316

Resposta

w = G R 2 - r 2 4 μ

0,316

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