Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 13
Em cada um dos problemas de a , encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
Descobrindo os autovalores dessa matriz nós teremos:
E fazendo essa determinante nós teremos:
Isso nos dará a seguinte equação:
Que tem raízes em
Passo 2
Se utilizarmos nós teremos um autovetor igual a:
Que vai nos dar um sistema igual a:
Substituindo a relação que está no quadrado nas outras duas nós teremos:
Uma solução para essas duas equações será:
Pois e para solucionar a equação (1) e se jogarmos esses números na equação quadriculada nós encontramos , o que vai nos dar uma solução para o autovalor igual a:
Passo 3
Agora para teremos:
Isso nos dará um sistema igual a:
Substituindo a relação na parte quadriculada nas outras duas nós iremos obter:
E uma solução para esse sistema será:
Pois na equação vemos que há uma solução em e e se substituirmos esses valores na relação que está quadriculada, nós encontramos , nos dando uma solução para o autovalor igual a:
Passo 4
Agora para teremos a seguinte matriz:
O que nos dará um sistema igual a:
Por fim se substituirmos a relação na parte quadriculada na segunda equação nós vamos encontrar:
Nessa última equação nós encontramos como solução e e se aplicarmos esses números na relação quadriculada desse passo nós vemos que:
Portanto o autovetor para esse autovalor (r=2) será:
Nos dando uma solução para esse autovalor igual a:
Portanto a solução geral para esse sistema é a soma das soluções pros três autovalores e que será: