Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 16
Verifique se as funções dadas são soluções da equação diferencial, e determine seu wronskiano.
Passo 1
O exercício nos dá uma equação diferencial de terceira ordem e três possíveis soluções: e . Temos que verificar se as funções são soluções do problema e, em seguida, determinar o wronskiano. Nosso primeiro passo será calcular as derivadas de cada função até a terceira ordem e, então, aplicar na equação diferencial. Ao final, se as funções forem soluções iremos usá-las para calcular o wronskiano. Tudo bem??? Vamos lá.
Passo 2
Vamos começar com a função :
Então
Aplicando na equação diferencial:
E é solução da equação.
A próxima função é :
Se aplicarmos na equação diferencial:
E verificamos que também é solução.
Vamos agora para a função :
E
Substituindo na equação:
Então, também é solução.
Passo 3
Nosso próximo passo será determinar o wronskiano. O wronskiano é definido como:
O determinante da matriz em que cada coluna representa uma função solução e cada uma das suas derivadas até uma ordem a menos que a ordem da equação diferencial. Como nossa equação diferencial era de terceira ordem, nosso wronskiano deve ir até a segunda derivada. Tudo bem???
Então, nosso wronskiano é:
Resposta
As funções são solução da equação diferencial e o wronskiano é .