Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 15
Em cada um dos problemas de a , resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando
Passo 1
Problemas de valor inicial serve justamente para encontrar os valores de e de , ou de mais constantes que a matriz passar a ter. Então vamos começar resolvendo normal esse sistema ao encontrar seus auto valores:
Passo 2
Então o auto vetor associado ao auto valor será:
Isso nos dá uma relação igual a:
Portanto o auto vetor será igual a:
E uma solução igual a:
Porém precisamos da outra solução para aplicarmos a condição inicial então espere.
Passo 3
Já para teremos o autovetor .
Onde podemos ver que a relação entre será:
Então o auto vetor associado será:
Nos dando uma solução igual a:
Logo a solução geral do sistema será:
O que em linhas gerais pode ser entendida como:
Passo 4
Agora sim podemos aplicar a condição inicial ao fazer e igualar com a matriz dada ou seja:
Então:
Diminuindo a segunda da primeira temos:
Logo será:
Deixando nossa solução igual a: