Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 16
Em cada um dos problemas de a , resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando
Passo 1
Primeiramente vamos encontrar os autovalores desse sistema:
Fazendo essa determinante teremos:
Essa equação do segundo grau nos dá autovalores iguais a:
Passo 2
O autovalor nos dá um autovetor igual a:
E pela multiplicação matricial nós conseguimos uma relação igual a:
Nos dando um autovetor igual a:
Portanto a parcela da solução dada pelo autovalor será:
Passo 3
Agora o autovetor dado pelo autovalor será:
Essa matriz nos dá a seguinte relação:
Portanto o autovetor para esse autovalor pode ser:
Nos dando uma solução igual a:
Logo a solução geral será:
Passo 4
Agora podemos aplicar a condição inicial que nos diz que:
Isso quer dizer que para temos que para será 1 e para será , então isso nos dará:
Então se diminuirmos a segunda equação da primeira nós teremos:
Então logo a solução geral fica: