Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 10

Em cada um dos problemas de 9 a 14 , encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 2 2 + i - 1 - 1 - i x

Passo 1

Não é por que tem um número complexo na jogada que a forma de se encontrar o auto valor da matriz muda. Vamos fazer o que estamos fazendo para encontrar o auto valor normalmente:

det ⁡ 2 - r 2 + i - 1 ( - 1 - i ) - r = 0  

2 - r ( - 1 - i ) - r - 2 + i × - 1 = 0

- 2 - 2 i - 2 r + r + r i + r 2 - - 2 - i = 0

r 2 - 1 - i r - i = 0

Por soma e produto nós conseguimos dizer que as raízes dessa equação de segundo grau são:

r 1 + r 2 = 1 - i

r 1 r 2 = - i

Então as raízes (portanto os autovalores) serão:

r 1 = 1

r 2 = - i

Por Bháskara essa solução pode ser um pouco chato.

Passo 2

O autovetor ξ 1 associado a r = 1 será:

2 - 1 2 + i - 1 - 1 - i - 1 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

1 2 + i - 1 - 2 - i ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

Fazendo a multiplicação matricial nós obteremos:

ξ 1 1 + 2 + i ξ 2 1 = 0

ξ 1 1 = - 2 + i ξ 2 1

Então uma forma de escrever o auto vetor associado é:

ξ 1 = ξ 1 1 ξ 2 1 = 2 + i - 1

Então a solução associada a esse autovalor será:

x 1 = c 1 2 + i - 1 e t

O sinal do primeiro e do segundo termo do autovetor podem estar trocados sem problemas.

Passo 3

Agora para r = - 1 teremos um autovetor igual a ξ 2 nós teremos:

2 + i 2 + i - 1 - 1 - i + i ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Então:

2 + i 2 + i - 1 - 1 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Dessa forma pela multiplicação matricial nós teremos a seguinte relação:

- ξ 1 2 - ξ 2 2 = 0

ξ 1 2 = - ξ 2 2

Portanto um auto vetor possível é:

ξ 2 = 1 - 1

E a solução para esse auto valor é:

x 2 = c 2 1 - 1 e - i t

Então a solução geral será:

x = c 1 2 + i - 1 e t + c 2 1 - 1 e - i t

Resposta

x = c 1 2 + i - 1 e t + c 2 1 - 1 e - i t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Referindo-se ao Problema 19 , resolva o sistema de equações dado em cada um dos problemas de 20 a 23 . Suponha que t0 t x ' = 3 - 2 2 - 2 x
Referindo-se ao Problema 19 , resolva o sistema de equações dado em cada um dos problemas de 20 a 23 . Suponha que t0 t x ' = 5 - 1 3 1 x
29- Considere a equação a y ' ' + b y ' + c y = 0 Em que a , b e c são constantes com a ≠ 0 . Foi mostrado, no Capítulo 3 , que a solução geral depende das raízes da equação característica a r 2 + b r
Referindo-se ao Problema 19 , resolva o sistema de equações dado em cada um dos problemas de 20 a 23 . Suponha que t0 t x ' = 4 - 3 8 - 6 x
Considere um sistema 2 × 2 x ' = A x . Se supusermos que r 1≠r 2 , a solução geral será x=c 1 ξ ( 1 ) e r 1 t +c 2 ξ 2 e r 2 t desde que ξ 1 e ξ 2 sejam linearmente independentes. Nesse problema, vamo