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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 12

Em cada um dos problemas de 9 a 14 , encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 3 2 4 2 0 2 4 2 3 x  

Passo 1

Encontrando os autovalores dessa matriz nós temos:

d e t 3 - r 2 4 2 0 - r 2 4 2 3 - r = 0

Fazendo a determinante nós teremos:

3 - r - r 3 - r + 16 + 16 - - 16 r + 12 - 4 r + 12 - 4 r = 0

- r 3 + 6 r 2 + 15 r + 8 = 0

As soluções são r 1 = - 1 , r 2 = - 1 e r 3 = 8 ou:

r + 1 2 ( r - 8 )

Portanto a nossa solução geral tem uma resposta do tipo:

x = c 1 ξ 1 e - t + c 2 ξ 2 e - t + c 3 ξ 3 e 8 t

Pois não necessariamente os auto vetores ξ 1 e ξ 2 por conta de algo que vamos ver agora.

Passo 2

O autovetor para r = - 1 será calculado agora:

3 + 1 2 4 2 0 + 1 2 4 2 3 + 1 ξ 1 1 ξ 2 1 ξ 3 1 = 0

4 2 4 2 1 2 4 2 4 ξ 1 1 ξ 2 1 ξ 3 1 = 0

E com essa matriz nós só conseguimos ver uma relação que é igual a:

2 ξ 1 1 + 1 ξ 2 1 + 2 ξ 3 1 = 0

Diversas formas podem ser obtidas para termos os autovetores dessa parcela aí, basta zerarmos duas .

Zerando ξ 2 1 nós obteremos:

ξ 1 1 = - ξ 3 1

Nos dando um autovetor:

ξ 1 = 1 0 - 1

E zerando ξ 1 1 nós teremos:

2 ξ 3 1 = - ξ 2 1

O que nos dá um autovetor:

ξ 2 = 0 - 2 1

Então uma das soluções pode ser:

x 1 = c 1 1 0 - 1 e - t + c 2 0 - 2 1 e - t

Pois são duas soluções dependentes.

Passo 3

Agora para r = 8 nós vamos obter um auto vetor ξ 3 .

3 - 8 2 4 2 0 - 8 2 4 2 3 - 8 ξ 1 3 ξ 2 3 ξ 3 3 = 0

O que vai nos dar:

- 5 2 4 2 - 8 2 4 2 - 5 ξ 1 3 ξ 2 3 ξ 3 3 = 0

Nos dando um sistema igual a:

- 5 ξ 1 3 + 2 ξ 2 3 + 4 ξ 3 3 = 0

2 ξ 1 3 - 8 ξ 2 3 + 2 ξ 3 3 = 0 → ξ 1 3 + ξ 3 3 = 4 ξ 2 3

4 ξ 1 3 + 2 ξ 2 3 - 5 ξ 3 3 = 0

Aplicando o resultado que está dentro do retângulo na primeira equação nós teremos:

- 5 ξ 1 3 + ξ 1 3 2 + ξ 3 3 2 + 4 ξ 3 3 = 0

- 9 2 ξ 1 3 + 9 2 ξ 3 3 = 0  

O que nos dá :

ξ 1 3 = ξ 3 3

Portanto se aplicarmos esse resultado na equação que está dentro do retângulo nós temos:

2 ξ 1 3 = 4 ξ 2 3

ξ 1 3 = 2 ξ 2 3

Portanto o autovetor será algo igual a:

ξ 3 = 2 1 2

Nos dando uma solução igual do auto valor r = 8 igual aa:

x 3 = c 3 2 1 2 e 8 t

Logo a solução geral será igual a:

x = c 1 1 0 - 1 e - t + c 2 0 - 2 1 e - t + c 3 2 1 2 e 8 t

Resposta

x = c 1 1 0 - 1 e - t + c 2 0 - 2 1 e - t + c 3 2 1 2 e 8 t

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