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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 19

Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; n é um inteiro positivo e a é uma constante real.

19. f t = t 2 sin ⁡ a t

Passo 1

A transformada de Laplace pode ser calculada através da integral:

F s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

Então...

F s = ∫ 0 ∞ t 2 sin ⁡ a t e - s t d t

Poxa, calcular essa integral do eito que está aí vai ser mmmmmmuuuuito trabalhoso, afinal temos t 2 sin ⁡ a t e - s t . Seria bom se a gente pudesse reduzir apenas para um t 2 e exponencial, neh? E a gente pode fazer isso!

Primeiro vamos definir o seno em forma de exponenciais pra facilitar as contas e para isso, vamos utilizar a notação de Euler:

sinh ⁡ a t = e i a t - e - i a t 2 i

Onde i é a unidade complexa - 1 (logo, uma constante também assim como o a , ok?)

SHOW! Então, buscar a Laplace de t 2 vezes o seno, significa resolver essa integral aqui:

F s = ∫ 0 ∞ t 2 sin ⁡ a t e - s t d t

F s = 1 2 i ∫ 0 ∞ t 2 e i a t - e - i a t e - s t d t

F s = 1 2 i ∫ 0 ∞ t 2 e a i - s t - e - a i + s t d t

Essa integral pode ser resolvida por integração por partes, como nos pede o exercício! Vamos nessa?

Vamos fazer...

u = t 2             e               d v = e a i - s t - e - a i + s t   d t

d u = 2 t d t             e               v = e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s  

Assim, pela fórmula de integração por partes, teremos...

∫     t 2 e a i - s t - e - a i + s t d t = t 2 e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s - ∫ e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s     2 t d t

∫     t 2 e a i - s t - e - a i + s t d t = t 2 e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s - 2 ∫ t e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s     d t

Veja que surgiu outra integral em t agora. O que a gente deve fazer? SIM! Integrar novamente! Vamos fazer isso em passo separado ok?

Passo 2

∫ t e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s     d t

Então...

u = t                   e                       d v = e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s d t

d u = d t                   e                       v = e a i - s t a i - s 2 - e - a i + s t a i + s 2

Substituindo na fórmula de integração por partes...

∫ t e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s     d t = t e a i - s t a i - s 2 - e - a i + s t a i + s 2 - ∫ e a i - s t a i - s 2 - e - a i + s t a i + s 2     d t

∫ t e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s     d t = t e a i - s t a i - s 2 - e - a i + s t a i + s 2 - e a i - s t a i - s 3 + e - a i + s t a i + s 3

Passo 3

Podemos então voltar para onde paramos lá no passo 2 :

∫     t 2 e a i - s t - e - a i + s t d t = t 2 e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s - 2 ∫ t e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s     d t

Substituindo esse valor dessa integral...

∫     t 2 e a i - s t - e - a i + s t d t = t 2 e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s - 2 t e a i - s t a i - s 2 - e - a i + s t a i + s 2 - e a i - s t a i - s 3 + e - a i + s t a i + s 3

∫     t 2 e a i - s t - e - a i + s t d t = t 2 e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s - 2 t e a i - s t a i - s 2 - e - a i + s t a i + s 2 + 2 e a i - s t a i - s 3 + e - a i + s t a i + s 3

BELEZA! Agora veja que queremos encontra a resposta dessa integral imprópria aqui:

F s = 1 2 i ∫ 0 ∞ t 2 e a i - s t - e - a i + s t d t

A integral que define a transformada de Laplace, ne? Substituindo esses limites de integração...

F s = 1 2 i t 2 e a i - s t a i - s + e - a i + s t a i + s - 2 t e a i - s t a i - s 2 - e - a i + s t a i + s 2 + 2 e a i - s t a i - s 3 + e - a i + s t a i + s 3 0 + ∞

Como todas essas exponenciais vão pra 0 quando t vai para o infinito, só precisamos substituir o limite inferior:

F s = - 1 2 i 0 2 e 0 a i - s + e - 0 a i + s - 2 ⋅ 0 e 0 a i - s 2 - e - 0 t a i + s 2 + 2 e 0 a i - s 3 + e - 0 a i + s 3

F s = - 1 i 1 a i - s 3 + 1 a i + s 3

Sacou?

Passo 4

Veja então que a resposta que encontramos foi em termos da unidade complexa i . Mas a gente pode obter a resposta apenas no mundo dos reais.

F s = - 1 i 1 a i - s 3 + 1 a i + s 3

Para isso, vamos juntar as duas frações:

F s = - 1 i a i + s 3   a i - s 3 a i + s 3 + a i - s 3 a i - s 3 a i + s 3

F s = - 1 i a i + s 3   + a i - s 3 a i - s 3 a i + s 3   →

Realizaremos agora os cúbicos desses termos:

F s = - 1 i a 3 i 3 + 3 a 2 i 2 s + 3 a i s 2 + 3 s 3 + a 3 i 3 - 3 a 2 i 2 s + 3 a i s 2 - 3 s 3 a 2 i 2 - s 2 3   →

Simplificando...

F s = - 1 i 2 a 3 i 3 + 6 a i s 2 - a 2 - s 2 3   →

F s = - a 3 i 2 + 3 a s 2 - a 2 - s 2 3   →

Como i 2 é - 1 por definição...

F s = - a 3 + 3 a s 2 a 2 + s 2 3   →

Resposta

F s = 3 a s 2 - a 3 a 2 + s 2 3

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