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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 5b

Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:

a )   f   ( t )   =   t

b )   f   ( t )   =   t 2

c )   f t = t n

Em que n é um inteiro positivo.

Passo 1

L e t r a   B :

Sabemos de nossa querida e amada teoria da transformada de Laplace que podemos calcular qualquer transformada de qualquer função de f t ( L f t s ) desse jeito aqui:

L f t s = ∫ 0 ∞ f t e - s t d t

No nosso caso, queremos calcular a transformada da função f t = t 2 :

L t 2 s = ∫ 0 ∞ t 2 e - s t d t  

Partiu calcular essa integral aí primeiro?

Passo 2

Podemos resolver então essa integral aqui

∫     t 2 e - s t d t

Usando integração por partes!

u = t 2               e               d v = e - s t d t

Derivando o u e integrando o v ...

d u = 2 t d t                     e                     v = - e - s t s

SHOW!

De acordo com as regras de integração por partes...

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Então, no nosso caso...

∫     t 2 e - s t d t = - t 2 s e - s t - ∫     - e - s t s 2 t d t     →

∫     t 2 e - s t d t = - t 2 s e - s t + 2 s ∫     e - s t t d t  

Perceba que surgiu outra integral aí que teremos que fazer também por integração por partes! Por sorte, já calculamos essa integral na letra A desse exercício onde obtivemos isso aqui:

∫     e - s t t d t = - t s e - s t - 1 s 2 e - s t

Então...

∫     t 2 e - s t d t = - t 2 s e - s t + 2 s - t s e - s t - 1 s 2 e - s t     →

∫     t 2 e - s t d t = - t 2 s e - s t - 2 t s 2 e - s t - 2 s 3 e - s t

Integral calculada! Que tal voltarmos para a integral que de fato temos que resolver?

∫ 0 ∞ t 2 e - s t d t

Ou seja, a nossa integral definida imprópria . Partiu?

Passo 3

Como sabemos de cálculos anteriores, integração imprópria pode se resolver trocando o infinito por um limite:

∫ 0 ∞ t 2 e - s t d t = lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t 2 e - s t d t

Agora, essa integral definida com b pode ser obtida pela substituição dos limites:

∫ 0 b t 2 e - s t d t = - t 2 s e - s t - 2 t s 2 e - s t - 2 s 3 e - s t 0 b =

- t 2 s e - s b - 2 t s 2 e - s b - 2 s 3 e - s b - 0 - 2 s 3 e 0 =

- t 2 s e - s b - 2 t s 2 e - s b - 2 s 3 e - s b + 2 s 3  

Substituindo esse resultado no limite agora...

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t 2 e - s t d t = lim b → ∞ ⁡ - t 2 s e - s b - 2 t s 2 e - s b - 2 s 3 e - s b + 2 s 3     →

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t 2 e - s t d t = 2 s 3 + lim b → ∞ ⁡ - t 2 s e - s b - 2 t s 2 e - s b - 2 s 3 e - s b     →

Se então s for um número qualquer maior que zero ( s > 0 ), então, quando b for para o infinito, a exponencial explode e vira um número muito grante, levando as duas frações a 0 . Então...

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t 2 e - s t d t = 2 s 3 - lim b → ∞ ⁡ 0     →

lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b t 2 e - s t d t = 2 s 3

Concluímos então que a transformada de Laplace de t será:

L t 2 s = ∫ 0 ∞ t 2 e - s t d t = 2 s 3

Com s > 0 .

Resposta

2 s 3 ;             s > 0

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