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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 19

Em cada um dos problemas de 16 a 21, resolva a equação diferencial dada por uma série de potências em x e verifique se a 0 é arbitrário em cada caso.

1 - x y ' = y

Passo 1

O exercício pede para que escrevamos na forma de:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x n

A derivada pode ser dada por:

y ' = ∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1

Aplicando na EDO, teremos :

1 - x y ' = y

1 - x ∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ a n x n

∑ n = 0 ∞ n a n x n - 1 - ∑ n = 0 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Reorganizando na forma de índice os termos em x não ao poder de n :

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

a 1 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - a 0 - ∑ n = 1 ∞ a n x n = 0

a 1 - a 0 + n + 1 a n + 1 - n a n - a n ∑ n = 1 ∞ x n = 0

Passo 2

Por comparação, podemos fazer:

a 1 - a 0 = 0   ,   a 1 = a 0

n + 1 a n + 1 - n a n - a n = 0

n + 1 a n + 1 - n + 1 a n = 0

a n + 1 = a n

a 0 = a 1 = a 2 = a 3 = a 4

y = a 0 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … + x n + … = a 0 1 1 - x

Resposta

y = a 0 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … + x n + … = a 0 1 1 - x

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