Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 21
Considere a equação diferencial
em que e são números reais, e s e t são inteiros positivos, arbitrários por enquanto.
(a) Mostre que, se ou , então o ponto é um ponto singular irregular.
(b) Tente encontrar uma solução da Eq. (i) da forma
Mostre que, se e , então existe apenas um valor possível para r para o qual existe uma solução formal da Eq. (i) da forma (ii).
(c) Mostre que, se e , então não existem soluções da Eq. (i) da forma (ii).
(d) Mostre que os valores máximos de s e de t para os quais a equação indicial é de segundo grau em r [e, portanto, podemos esperar encontrar duas soluções da forma (ii)] são e Essas são precisamente as condições que distinguem uma “singularidade fraca”, ou um ponto singular regular, de um ponto singular irregular, como definimos na Seção 5.4.
Passo 1
Sendo a nossa equação:
A partir da equação dada podemos dizer que: , e
Onde o único ponto singular é
Aplicando nas condições de singularidade, teremos:
E também:
Então, ambos os limites são finitos e é um ponto irregular se e .
Passo 2
(b) Assumimos que tem a seguinte forma:
Tirando as derivadas de :
E também:
Substituindo na EDO teremos:
Substituindo:
Se e , podemos deslocar o limite do somatório do meio, permitindo reagrupar:
Passo 3
Quando equacionamos os coeficientes de ambos os lados, obtemos:
Desde que e , implicando que .
Se , os primeiros elementos serão:
Portanto, a solução no caso de e , teremos:
Passo 4
(c) Se e , podemos deslocar o limite do somatório do meio, permitindo
reagrupar:
Quando equacionamos os coeficientes de ambos os lados, obtemos:
Porque , Portanto, não há solução na forma (1) quando e .
Passo 5
(d) A equação indical é
Onde:
Como é um número real apenas para e é um número real apenas para concluímos que os valores máximos de e para os quais a equação indical é quadrática são
Resposta
Temos ;