Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x0 dado.

(x^2 - 2x - 3)y'' + xy' + 4y = 0; x0 = 4, x0 = -4, x0 = 0

Passo 1

Nós temos que os termos P x , Q x   e   R ( x ) são respectivamente os polinômios P x = x 2 - 2 x - 3 , Q x = x e R x = 4 , podemos usar a segunda abordagem para encontrar um limite inferior p para o raio descrito no livro. Nós temos:

0 = P x

0 = x 2 + x - 3 x - 3

0 = x x + 1 - 3 ( x + 1 )

0 = ( x + 1 ) ( x - 3 )

As raízes são - 1 e 3 .

Eles são diferentes de 4 ,   - 4   e   0 , portanto, ambas as séries para peq são convergentes em torno de 4 ,   - 4   e   0 .   Q ,   P   e   R têm fator comum, portanto:

P a r a   x 0 = 4 ,   p = min ⁡ { ⁡ - 1 - 4 , 3 - 4 } = 1

P a r a   x 0 = - 4 ,   p = min ⁡ { ⁡ - 1 + 4 , 3 + 4 } = 3

P a r a   x 0 = 0 ,   p = min { ⁡ - 1 - 0 , 3 - 0 } = 1

Resposta

P a r a   x 0 = 4 ,   p = 1

P a r a   x 0 = - 4 ,   p = 3

P a r a   x 0 = 0 ,   p = 1

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