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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 19

Em diversos problemas em física matemática, é necessário estudar a equação diferencial

x ( 1 –   x ) y ″   +   [ γ   –   ( 1   +   α   +   β ) x ] y '   –   α β y   =   0

em que α ,   β   e   γ são constantes.

Essa equação é conhecida como equação hipergeométrica.

(a) Mostre que x   =   0 é um ponto singular regular e que as raízes da equação indicial são 0 e 1   –   γ .  

(b) Mostre que x   =   1 é um ponto singular regular e que as raízes da equação indicial são 0 e γ   –   α   –   β .  

(c) Supondo que 1   –   γ não é um inteiro positivo, mostre que uma solução da E q .   ( i ) em uma vizinhança de x   =   0 é

y 1 x = 1 + α     β γ . 1 ! x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) γ γ + 1 2 ! x 2 + …

Qual o valor que você esperaria para o raio de convergência dessa série?

(d) Supondo que 1   –   γ não é inteiro positivo nem zero, mostre que uma segunda solução para 0   <   x   <   1 é

y 2 x = x 1 - γ 1 + α - γ + 1 β - γ + 1 2 - γ 1 ! x + …

(e) Mostre que o ponto no infinito é um ponto singular regular e que as raízes da equação indicial são α e β . Veja o Problema 43 da Seção 5.4.

Passo 1

Se a nossa equação é:

x ( 1 –   x ) y ″   +   [ γ   –   ( 1   +   α   +   β ) x ] y '   –   α β y   =   0

(a) A partir da equação, vemos que P x = x ( 1 –   x ) , Q x = γ   –   ( 1   +   α   +   β ) x e R x = –   α β . Um zero de P ( x ) é x 1 = 0 , então   x 1 é um ponto singular da equação fornecida. Para verificar se também é regular, temos que ver se os seguintes limites são finitos:

lim x → x 1 ⁡ x - x 1 Q x P x = lim x → 0 ⁡ x γ   –   1   +   α   +   β x x 1 - x = γ = p 0  

lim x → x 1 ⁡ x - x 1 2 R x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 2 - α β x ( 1 - x ) = 0 = ( = q 0 ) ⁡

Como os dois são finitos, x 1 = 0   é um ponto singular regular da equação inicial. A equação indical correspondente é:

F r = r r - 1 + p 0 r + q 0 = r r - 1 + γ r = r ( r - 1 + γ )

Onde as raízes são:

r 1 = 0

r 2 = 1 - γ

Passo 2

(b) O outro zero de P ( x ) é x 2 = 1 , então x 2 também é um ponto singular da equação dada. Agora verificamos sua regularidade:

lim x → x 1 ⁡ x - x 1 Q x P x = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) γ   –   1   +   α   +   β x x 1 - x = - γ + 1   α   +   β = p 0  

lim x → x 1 ⁡ x - x 1 2 R x P ( x ) = lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) 2 - α β x ( 1 - x ) = 0 = ( = q 0 ) ⁡

Dado que ambos são finitos, x 2 = 1 também é um ponto singular regular da equação inicial. A equação indical correspondente é:

F r = r r - 1 + p 0 r + q 0

= r r - 1 + - γ + 1   +   α   +   β r = r ( - γ + r   +   α   +   β )

Com raízes:

r 1 = 0

r 2 = γ -   α -   β

Passo 3

(c) Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:

y 1 x = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n r 1 x n = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n 0 x n  

Os coeficientes a n ( 0 ) , além de a 0 ( 0 ) = 1 , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de r   =   r 1 .

x ( 1 –   x ) y ″   +   [ γ   –   ( 1   +   α   +   β ) x ] y '   –   α β y   =   0

n ( n - 1 + γ ) a n 0 + ∑ k = 0 n - 1 a k 0 k p n - k + q n - k = 0

Onde:

∑ n = 0 ∞ p n x n = x p ( x ) = γ   –   ( 1   +   α   +   β ) x 1 1 - x = [ γ   –   1   +   α   +   β x ] ∑ n = 0 ∞ x n

E:

∑ n = 0 ∞ q n x n = x 2 q ( x ) = - α β x 1 1 - x = - α β x ∑ n = 0 ∞ x n = - α β ∑ n = 1 ∞ x n

Respectivamente, conseguimos dizer que:

s e   n = 0 ,   p n = γ

s e   n > 0   p n = γ   –   1 -   α -   β

S e   n = 0 ,   q n = 0

S e   n > 0 ,   q n = -   α β

Então, podemos dizer que:

a n 0 = - ∑ k = 0 n - 1 a k 0 [ k p n - k + q n - k ] n ( n - 1 + γ )

Calculando os primeiros elementos, teremos:

a 1 0 = - a 0 q 1 1 . γ = α β 1 ! . γ

a 2 0 = - [ a 0 q 2 + a 1 0 p 1 + q 1 ] 2 ( 1 + γ ) = α β ( 1 + α ) ( 1 + β ) 2 ! γ ( 1 + γ )

Então, y 1 pode ser dado por:

y 1 x = 1 + α β 1 ! . γ x + α β ( 1 + α ) ( 1 + β ) 2 ! γ ( 1 + γ ) + … + α 1 + α … n - 1 + α β 1 + β … n - 1 + β γ 1 + γ … n - 1 + γ x n + …

Passo 4

(e) De acordo com o problema 43 da seção 5.4, o ponto no infinito é um ponto singular regular se pelo menos uma das funções:

1 P 1 ξ 2 P 1 ξ ξ - Q 1 ξ ξ 2   e   R 1 ξ ξ 4 P 1 ξ

Nós não temos uma expansão de Taylor, mas ambos:

1 P 1 ξ 2 P 1 ξ ξ - Q 1 ξ ξ 2   e   R 1 ξ ξ 2 P 1 ξ

Com isso, teremos:

1 P 1 ξ 2 P 1 ξ ξ - Q 1 ξ ξ 2 = 1 1 ξ 1 - 1 ξ 2 1 ξ 1 - 1 ξ ξ - γ   – 1 +   α +   β 1 ξ ξ 2 =   - 2 - γ + - 1 +   α +   β 1 ξ 1 1 - ξ = 1 - α - β ξ - 1 - ( - γ + 1 +   α +   β ) ∑ n = 0 ∞ ξ n  

O que não pode ser uma série de Taylor porque contém um termo de grau negativo. Por outro lado:

1 P 1 ξ 2 P 1 ξ ξ - Q 1 ξ ξ 2 = 1 - α - β - ( - γ + 1 +   α +   β ) ∑ n = 0 ∞ ξ n

E:

R 1 ξ ξ 2 P 1 ξ = - α β ξ 2 1 ξ 1 - 1 ξ = - α β 1 - ξ = α β ∑ n = 0 ∞ ξ n

Ambos são da série Taylor. Portanto, o ponto no infinito é um ponto singular regular.

Passo 5

Os coeficientes p 0 e q 0 da equação :

F ( r ) = r ( r - 1 ) + p 0 r + q 0 = 0

São dados por, respectivamente:

lim ξ → 0 ⁡ 1 P 1 ξ ⁡ 2 P 1 ξ ξ - Q 1 ξ ξ 2 = lim ξ → 0 ⁡ 1 - α - β - - γ + 1 +   α +   β ∑ n = 0 ∞ ξ n = 1 - α - ⁡ β

E também:

lim ξ → 0 ⁡ R 1 ξ ξ 2 P 1 ξ = lim ξ → 0 ⁡ α β ∑ n = 0 ∞ ξ n = α β ⁡

Portanto:

F r = r r - 1 + 1 - α - β r + α β

= r 2 -   α + β r + α β = r - α r - β = 0

As raízes são:

r 1 = α   e   r 2 = β

Resposta

(a) r 1 = 0   e   r 2 = 1 - γ

(b) r 1 = 0   e   r 2 = γ -   α -   β

(c)   y 1 x = 1 + α β 1 ! . γ x + α β 1 + α 1 + β 2 ! γ 1 + γ + … + α 1 + α … n - 1 + α β 1 + β … n - 1 + β γ 1 + γ … n - 1 + γ x n + …

(e)   r 1 = α   e   r 2 = β

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