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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 20

Considere a equação diferencial

x 3 y ″   +   α x y '   +   β y   =   0

, em que α e   β são constantes reais e α   ≠   0 .

(a) Mostre que x   =   0 é um ponto singular irregular.

(b) Ao tentar encontrar uma solução da forma ∑ n = 0 ∞ a n x r + n , mostre que a equação indicial para r é linear e, portanto, existe apenas uma solução formal nessa forma proposta.

(c) Mostre que, se β / α   =   – 1 ,   0 ,   1 ,   2 ,   .   .   .   , então a solução formal em série termina e é, portanto, uma solução de fato. Para outros valores de β / α , mostre que a solução formal em série tem raio de convergência nulo; logo, não representa uma solução de fato em nenhum intervalo.

Passo 1

(a) Sendo a nossa equação:

A partir da equação dada podemos dizer que: P ( x ) = x 3 , Q ( x ) = α x e R x = β .

Onde o único ponto singular é x 0 = 0 .

Aplicando nas condições de singularidade, teremos:

lim x → x 0 ⁡ ( x - x 0 ) Q x P x  

E também:

lim x → x 0 ⁡ ( x - x 0 ) 2 R x P ( x )

Existe e é finito, desde:

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x = lim x → 0 ⁡ x α x 3 = α / 0 ⁡  

Então, x 0 = 0 é um ponto singular da EDO.

Passo 2

(b) Assumimos que y tem a seguinte forma:

y = ∑ n = 0 ∞ a n x r + n

Tirando as derivadas de y :

y ' = ∑ n = 0 ∞ r + n a n x r + n - 1

E também:

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n - 2

Substituindo na EDO teremos:

x 3 y ″   +   α x y '   +   β y   =   0

Então:

x 3 ∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n - 2   +   α x ∑ n = 0 ∞ r + n a n x r + n - 1   +   β ∑ n = 0 ∞ a n x r + n   =   0

Reorganizando:

= ∑ n = 0 ∞ r + n r + n - 1 a n x r + n - 1 + α r a 0 x r + α ∑ n = 1 ∞ r + n a n x r + n + β a 0 x r + β ∑ n = 1 ∞ a n x r + n

Então:

= α r + β a 0 x r + ∑ n = 1 ∞ r + n - 1 r + n - 2 a n - 1 + α r + n + β a n x r + n = 0

A equação F ( r ) = 0 , onde F ( r ) é o coeficiente próximo a a 0 x r   , é:

F ( r ) = α r + β = 0

Que é linear com a raiz r   =   β / α .

Passo 3

Equacionando o coeficiente próximo a x r + n , com zero, obtemos:

a n = - r + n - 1 r + n - 2 a n - 1 α r + n + β

Se   r   =   1 - m ou r   =   2 - m   por algum m . Desde que r = - β α , nós temos β α . Nesse caso, o numerador em para n   =   m é igual a zero, este a m = 0 . Cada elemento na sequência a n é igual ao anterior até uma constante multiplicativa, portanto, todos os elementos após tantos m   são iguais a zero. A série y agora tem um número finito de termos e termina.

Aplicamos o teste de razão para x   ≠ 0 .

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 r - 1 r 2 r + 1 2 … r + n - 1 2 ( r + n ) α r + 1 + β α r + 2 + β … [ α r + n + 1 + β ]   x r + n + 1 - 1 n r - 1 r 2 r + 1 2 … r + n - 2 2 ( r + n - 1 ) α r + 1 + β α r + 2 + β … [ α r + n + β ] = ⁡

= x lim n → ∞ ⁡ ( r + n - 1 ) ( r + n ) α ( r + n + 1 ) + β = x . ∞ > 1

Portanto, a série y diverge para x ≠ 0 , então seu raio de convergência é zero.

Resposta

x 0 é singular. ρ = 0 . r   =   β / α .

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