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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 19

Em cada um dos problemas de 17 a 34, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular.

19.

x 2 ( 1   –   x ) y ″   +   ( x   –   2 ) y '   –   3 x y   =   0

Passo 1

Antes de começarmos temos que descobrir : 1.Quais são os pontos singulares. 2. O que faz esses pontos serem regulares ou irregulares.

Nossa equação tem o seguinte formato

P y "   +   Q y '   +   R y   = 0

Onde pontos de singularidade são os que

P x = 0

Digamos que esse ponto seja x 0 . Sabemos classificar esses pontos se

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P =   finito

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P =   finito

Ou seja, se essa razão não divergir pra infinito tem um ponto regular. Se qualquer um dos limites divergir, então é irregular. Beleza? Vamos cair dentro

Passo 2

No nosso caso temos a seguinte equação

x 2 ( 1   –   x ) y ″   +   ( x   –   2 ) y '   –   3 x y   =   0

Nossa função P é

P x =   x 2 ( 1   –   x )

Então com isso os pontos singulares são

x = 0

E

x = 1

Passo 3

Vamos testar a regularidade dos pontos agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 0 ⁡ x ( x   –   2 ) x 2 ( 1   –   x ) =   ∞

Esse ponto explodiu para infinito, com isso podemos afirmar que x = 0   é IRREGULAR

Agora vamos testar o ponto x = 1

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q P

lim x → 1 ⁡ x - 1 x   –   2 x 2 1   –   x = 1

Passou no primeiro teste, temos que conferir o outro limite agora

lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R P

lim x → 1 ⁡ x - 1 2 - 3 x x 2 1   –   x = 0

SHOW! Os dois limites convergem pra um ponto específico. Logo x = 1   é REGULAR !

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Os pontos singulares são

x = 0 → Irregular

E

x = 1 →   Regular

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