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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 35

35. Encontre todos os valores de α para os quais todas as soluções de

x 2 y ″ +   α x y ' +   5 2 y   =   0

tendem a zero quando x → 0

Passo 1

Oii vamos começar mais uma solução. Essa função tem o seguinte formato

P x y " + Q ( x ) y ' + R ( x ) y   =   0

Beleza!!! O que faremos agora é supor que a solução do nosso problema é

y = x r

E com isso substituir na nossa equação

y ' = r x r - 1

y "   =   r ( r - 1 ) x r - 2    

Passo 2

Vamos jogar dentro da nossa equação e ver o resultado disso

x 2 y ″ +   α x y ' +   5 2 y   =   0

x 2 r ( r - 1 ) x r - 2 + α x   r x r - 1 + 5 2 x r = 0

A sagacidade está em perceber que nossa função y " está sendo multiplicada por x 2 , logo podemos ajustar os expoentes e deixar tudo com a seguinte cara

r ( r - 1 ) x r + α r x r + 5 2 x r = 0

x r r r - 1 + α r + 5 2 = 0

Logo ou nossa função x r = 0 e assim temos a solução trivial, ou temos a seguinte equação solução

r r - 1 + α r + 5 2 = 0

r 2 + α - 1 r + 5 2 = 0

Fazendo bhaskara descobrimos que as soluções dessa equação são

r = - α + 1 ± α 2 - 2 α - 9 2

Passo 3

Aqui vem o truque de mestre. Afinal nossa solução tem o seguinte formato

y = c 1 x r 1 + c 2 x r 2  

E o enunciado quer que y = 0 → x = 0 e isso so vai acontecer se o expoente de x for diferente de zero. Afinal

x 0 = 1

Assim jamais y   seria 0 . Precisamos então encontrar os valores de α para que

r > 0

r = - α + 1 ± α 2 - 2 α - 9 2 > 0

Com isso em mente podemos fazer

- α + 1 ± α 2 - 2 α - 9 > 0

- α + 1 2 > α 2 - 2 α - 9 2  

α 2 - 2 α + 1 >   α 2 - 2 α - 9

1 > - 9

Conseguimos encontrar uma consistência, as soluções

y = c 1 x - α + 1 + α 2 - 2 α - 9 2 + c 2 x - α + 1 - α 2 - 2 α - 9 2  

São validas para todo domínio de r. Então a gente agora só precisa descobrir o domínio. E analisando r

r = - α + 1 ± α 2 - 2 α - 9 2

Vemos que o único empecilho a r estar nos reais é a raiz quadrada. O argumento da raiz tem que ser positivo. Assim

α 2 - 2 α - 9 > 0

Resolvendo por bhaskara encontramos as seguintes raízes

r - 1 + 10 r - 1 - 10 > 0  

E isso só é possível se os dois fatores forem positivos, ou os dois fatores forem negativos. Assim teremos as seguintes condições

r - 1 + 10 > 0

r >   1 + 10

E

r - 1 - 10 > 0

r > 1 - 10  

Logo para satisfazer ambas. Teremos que r tem que ser maior que 1 + 10 . Agora a segunda condição.

r - 1 + 10 < 0

r < 1 + 10  

E

r - 1 - 10 < 0

r < 1 - 10  

Então para satisfazer ambas, r tem que ser menor que 1 - 10 . Com isso podemos dizer que o intervalo de α é

α ∈ R   - ∞ , 1 - 10   ∪ 1 + 10   ,   ∞ }  

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

α ∈ R   - ∞ , 1 - 10   ∪ 1 + 10   ,   ∞ }  

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Use a fórmula de Abel para encontrar o wronskiano de um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial dada. y ' ' ' + 2 y ' ' - y ' - 3 y = 0
Mostre que W 5 , sen 2 ⁡ t , cos ⁡ 2 t = 0 para todo t . Você pode obter esse resultado sem calcular diretamente o wronskiano?
Mostre que, se y 1 é uma solução de y ' ' ' + p 1 t y ' ' + p 2 t y ' + p 3 t y = 0 , Então a substituição y = y 1 t v ( t ) nos leva à seguinte equação de segunda ordem para v ' : y 1 v ' ' ' + 3 y 1
Use o método da redução de ordem para resolver a equação diferencial dada. 2 - t y ' ' ' + 2 t - 3 y ' ' - t y ' + y = 0 , t2 ; y 1 t = e t
Use o método da redução de ordem para resolver a equação diferencial dada. t 2 t + 3 y ' ' ' - 3 t t + 2 y ' ' + 6 1 + t y ' - 6 y = 0 , t0 ; y 1 t = t 2 , y 2 t = t 3