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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 25

Em cada um dos problemas de 21 a 27, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n .

25.

∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1

Passo 1

Fala galera!!!

Para resolver essa questão, precisamos fazer com que o termo geral da série

∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1

passe a ficar em função de x n .

Passo 2

Podemos começar substituindo m por n + 2 na série acima à esquerda. Assim temos:

∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2

= ∑ n + 2 = 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2   x n + 2 - 2

= ∑ n = 2 - 2 ∞ n + 2 n + 2 - 1 a n + 2 x n + 2 - 2

= ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n

Passo 3

No segundo somatório podemos colocar o x para dentro. Assim temos:

x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1 = ∑ k = 1 ∞ x k a k x k - 1 = ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1 + 1 = ∑ k = 1 ∞ k a k x k = ∑ k = 0 ∞ k a k x k

onde o ultimo igualdade pode ser verificada escrevendo os primeiros termos. Assim temos:

∑ k = 1 ∞ k a k x k = ∑ k = 0 ∞ k a k x k

1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + k a k x k = 0 a 0 x 0 + 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + k a k x k

1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + k a k x k = 0 + 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + k a k x k

1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + k a k x k = 1 a 1 x 1 + 2 a 2 x 2 + … + k a k x k

Podemos substituir a variável muda k por n . Assim temos:

∑ k = 0 ∞ k a k x k = ∑ n = 0 ∞ n a n x n

Passo 4

Com os dois resultados obtidos, temos então a seguinte expressão:

∑ m = 2 ∞ m m - 1 a m x m - 2 + x ∑ k = 1 ∞ k a k x k - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ n a n x n

Juntando os dois somatórios a direita da igualdade, temos:

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + ∑ n = 0 ∞ n a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 x n + n a n x n

= ∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n x n

Portanto, escreva a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve x n é

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n x n

Resposta

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 a n + 2 + n a n x n

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