Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 10
Em cada um dos problemas de 9 a 16, determine a série de Taylor da função em torno do ponto . Determine também, o raio de convergência da série.
9.
Passo 1
Fala galera!!!
O problema nos forneceu a seguinte função:
no ponto .
Nosso objetivo, é obter a série de Taylor da função dada sobre o ponto , e também, determinar o raio de convergência da série.
Passo 2
No livro, podemos encontrar que a série de Taylor de uma função sobre o ponto é dada por:
Ou seja:
Passo 3
Tendo em mente o que foi dito acima, vamos calcular os primeiros termos da série de Taylor para a função dada, com o objetivo de encontrar um termo geral que define a série. Assim temos:
A partir desse ponto podemos ver que os termos da série apresentação um padrão.
Passo 4
Assim, temos que a serie fica da seguinte forma:
Substituindo, temos:
Logo, podemos escrever a da seguinte maneira:
Assim, a representação da série Taylor para a é .
Passo 5
Agora, queremos encontrar o raio de convergência da série que encontramos acima:
Para isso, vamos começar usando o teste da razão.
O teste diz o seguinte:
Se é uma série positiva e
então:
(a) A série é absolutamente convergente se .
(b) A série é divergente se .
(c) O teste da relação é inconclusivo se .
Passo 6
Temos que:
Então:
Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:
Portanto:
Passo 7
Uma vez que
para todos , pelo teste Razão, a série converge para todos os números reais.
Portanto, o raio de convergência da série de potências é .