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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 23

Considere o problema de valores de contorno

r x u t = p x u x x - q x u + F x

u 0 , t = T 1     u 1 , t = T 2     u x , 0 = f x

a) Seja v x uma solução do problema

p x v ' ' - q x v = - F x ,   v 0 = T 1 ,   v 1 = T 2

Se ω x , t = u x , t - v x , encontre o problema de valores de contorno satisfeito por ω . Note que esse problema pode ser resolvido pelo método dessa seção.

b) Generalize o procedimento do item (a) para o caso em que u satisfaz as condições de contorno

u x 0 , t - h 1 0 , t = T 1 ,   u x 1 , t + f 2 u 1 , t = T 2

Passo 1

a) Façamos u ( x , t ) ser a solução do PVC e v ( x ) ser uma solução do PVC relacionado. Substituindo por u x , t = w x , t + v ( x ) nós encontramos

r x u t = r x w t

Então

p x u x x - q x u + F x = p x w x x - q x w + p x v ' ' - q x v + F x

= p x w x x - q x w - F x + F x

= p x w x x - q x w

Logo, w ( x , t ) é a solução da EDO homogênea

r x w t = p x w x x - q x w

As condições de contorno requeridas são:

w 0 , t = u 0 , t - v 0 = 0

w 1 , t = u 1 , t - v 1 = 0

A condição inicial associada é w x , 0 = u x , 0 - v x = f x - v ( x )

Passo 2

b) Façamos v ( x ) ser a solução da EDO.

p x v ' ' - q x v = - F x

e também satisfaça as condições de contorno v ' 0 - h 1 v 0 = T 1 ,   v ' 1 + h 2 v 1 = T 2 .

Se w x , t = u x , t - v ( x ) , então é tranquilo de mostrar que w satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas no exercício (a).

w x 0 , t - h 1 w 0 , t = u x 0 , t - v ' 0 - h 1 u 0 , t + h 1 v 0

= u x 0 , t - h 1 u 0 , t - v ' 0 + h 1 v 0

= 0

Similarmente, a outra condição de contorno também é homogênea.

Resposta

a )   r x w t = p x w x x - q x w

w 0 , t = u 0 , t - v 0 = 0

w 1 , t = u 1 , t - v 1 = 0

w x , 0 = u x , 0 - v x = f x - v ( x )

b )   w x 0 , t - h 1 w 0 , t = 0

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A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s
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