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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 24

Em cada um dos problemas de 23 a 26:

(a) Encontre a série de Fourier indicada na função dada.

(b) Esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três períodos.

(c) Faça o gráfico de uma ou mais somas parciais da série.

24.

f x = - x ,         - π < x < 0       s é r i e   e m   s e n o s ,   p e r í o d o   2 π  

Passo 1

(a) Fala galera!!!

A equação fornecida é a seguinte:

f x = - x ,         - π < x < 0

Queremos encontrar a série de Fourier para senos e esboçar o gráfico da função. Assim, precisamos encontrar o coeficiente b n para a extensão impar de período 2 L da função f x .

Passo 2

Agora, vamos calcular o coeficiente b n . Para isso, podemos usar a seguinte relação fornecida no livro:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x                           n = 1 ,   2 ,   …

Em que a f x pode ser dada como uma série de Fourier da seguinte forma:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Para este caso, L = π .

Passo 3

Agora, vamos calcular b n . Assim temos que:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 2 π ∫ - π 0 - x sen ⁡ n π x π d x

b n = 2 π ∫ - π 0 - x sen ⁡ n x d x

b n = - 2 π - x n cos ⁡ n x + 1 n 2 sen ⁡ n x - π 0

b n = - 2 π - 0 n cos ⁡ 0 + 1 n 2 sen ⁡ 0 - - - π n cos ⁡ - n π + 1 n 2 sen ⁡ - n π

Temos que sen ⁡ 0 = 0 e que sen ⁡ - n π sempre será 0 e que cos ⁡ 0 = 1 e que cos ⁡ - n π = cos ⁡ n π . Assim temos que:

b n = - 2 π - π n cos ⁡ n π

b n = 2 n cos ⁡ n π

Temos que cos ⁡ n π será - 1 quando para números impares e 1 para números pares, então, podemos escrever b n da seguinte maneira:

b n = 2 - 1 n n

Passo 4

Substituindo, os termos encontrados na relação fornecida no passo 2, temos que a série de Fourier para um a extensão par de f x é a seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x π

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n n sen ⁡ n x

Passo 5

(b) Podemos esboçar o gráfico da função para a qual a série converge da seguinte maneira:

Passo 6

(c) Podemos plotar o gráfico da soma parcial para S 20 para o qual a série converge da seguinte maneira:

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 - 1 n n sen ⁡ n x

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