Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.4 - Ex. 13
13. Prove que qualquer função pode ser expressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. Ou seja, para qualquer função f cujo domínio contém sempre que contiver , mostre que há uma função par e uma função ímpar tal que . Sugestão: O que você pode dizer sobre ?
Passo 1
Fala galera!!!
Nessa questão, queremos provar que qualquer função pode ser expressa como a soma de uma função impar com uma função par. Para isso, vamos considerar que a função dada pode ser escrita da seguinte maneira:
Agora, vamos considerar que:
E também vamos considerar que:
Passo 2
Para a função , vamos verificar seu valor substituindo por . Assim temos:
Podemos perceber que e são iguais, ou seja, é uma função par.
Passo 3
Para a função , vamos verificar seu valor substituindo por . Assim temos:
Podemos perceber que e são iguais, ou seja, é uma função impar.
Passo 4
Portanto, para qualquer função f cujo domínio contém , sempre que contém , existem funções pares e ímpares e respectivamente, de modo que
ou seja, qualquer função pode ser expressa como uma soma de duas outras funções, uma das quais é par e a outra é ímpar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)