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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 29

Em cada um dos problemas de 25 a 31, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.

e x + ( e x cot ⁡ y + 2 y csc ⁡ y ) y ' = 0

Passo 1

Vamos utilizar o problema 23 para resolver nosso problema. Depois para resolvermos vamos aplicar a lógica de derivar e integrar nossas função. Segue o passo a passo para achar nossa solução durante nossa resolução.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

M x , y d x + N x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y M x , y - d d x N x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Pensando em usar a equação sugerida no exercício 23 para achar o fator integrante

μ y = exp ⁡ ∫ Q y d y

Devemos primeiro determinar quem é nossa Q ( y ) .

Assim vamos calcular

d d y M x , y - d d x N x , y = d d y ( e x ) - d d x e x cot ⁡ y + 2 y csc ⁡ y

= e x cot ⁡ y

Assim temos que

Q y = e x cot ⁡ y M = cot ⁡ y

Assim temos que

μ y = exp ⁡ ∫ cot ⁡ y d y = exp ⁡ ∫ cos ⁡ y s e n   y d y = exp ⁡ ln ⁡ s e n   y = s e n   y

Assim nossa função se transforma em

e x   s e n   y + ( e x cos ⁡ y + 2 y ) y ' = 0

Passo 3

Agora queremos achar quem é nossa função potencial

Imagine que tenhamos uma função Y ( x , y ) , que quando derivamos em cada direção teremos

d d x Y x , y = ( e x   s e n   y )

E

d d y Y x , y = ( e x cos ⁡ y + 2 y )

Assim vamos fazer o seguinte. Tome a integral da primeira equação

∫ d d x Y x , y d x = ∫ e x   s e n   y d x

A integral da esquerda usaremos o teorema fundamental do calculo, nosso amiguinho.

A integral da direita é tranquila, certo? Assim

Y x , y = e x s e n   y + C ( y )

Se derivarmos, deveríamos obter ( e x cos ⁡ y + 2 y ) , ou seja

d d y Y x , y = d d y e x s e n   y + C ( y ) = e x cos ⁡ y + C ' y = ( e x cos ⁡ y + 2 y )

Com

C ' y = 2 y

E a pergunta é, quanto vale C ( y ) ? Basta integrar, não? Assim teremos

C y = y 2 + C

O que nos leva a conclusão que nossa função potencial é

Y x , y = e x s e n y + y 2 + C

Resposta

x , y = e x s e n y + y 2 + C

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