A equação diferencial

aparece no estudo da turbulência em um fluxo uniforme ao passar por um cilindro circular.

Verifique se y1(x) = exp(–δx²/2) é uma solução e depois encontre a solução geral na forma de uma integral.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a solução para a equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pensar que, por ser linear e homogênea, teremos a solução no seguinte formato:

y 1 x = c ( x ) exp ⁡ - δ x 2 2

c ( x ) exp ⁡ - δ x 2 2 ' ' + δ x c x exp ⁡ - δ x 2 2 ' + c x exp ⁡ - δ x 2 2 = 0

c ' ' x - δ x c ' x = 0

I = e - δ x 2 2

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

c ' ( x ) = C 1 e δ x 2 2

c x = ∫ C 1 e δ r 2 2 d r + C 2

y x =   ∫ C 1 e δ ( r 2 - x 2 ) 2 d r + C 2 e - δ x 2 2

Resposta

y x =   ∫ C 1 e δ ( r 2 - x 2 ) 2 d r + C 2 e - δ x 2 2

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